Frage von MundMs123, 43

Stammfunktion und Integration?

Hallo zusammen!

ich habe eine Funktion fk(x)=(x^2-k+1)e^-x gegeben. Diese solll ich nun von 0 bis 2 integrieren. Da ich nach stundenlangen Versuchen aber nicht auf die Stammfunktion komme, ist nun meine Frage:

kann mir jemand die Herleitung der Stammfunktion zur angegebenen Funktion schrittweise erklären?

Danke im Voraus!

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 11

Hallo,

hier mußt Du die partielle Integration anwenden nach dem Muster

∫(f*g')=f*g-∫(f'*g)

f=x²-k+1 f'=2x g'=e^(-x), g=-e^(-x)

(x²-k+1)*(-e^(-x))-∫(2x*(-e^(-x))

Das Minus aus dem ersten Teil nach vorn ziehen und die 2 und das Minus aus dem Restintegral vor das Integral stellen:

-(x²-k+1)*e^(-x)+2∫(x*e^(-x))

Nun das Restintegral partiell integrieren, also ∫(x*e^(-x))

f=x f'=1 g'=e^(-x) g=-e^(-x)

-x*e^(-x)+∫e^(-x)) (Auch hier wurde das Minus wieder vor das Integral gezogen und gibt mit dem Minus, das dort bereits stand, ein Plus.

Das Integral, das jetzt noch da ist, ergibt -e^(-x)

Also: -e^(-x)*x-e^(-x)

Jetzt zusammenbauen:

-(x²-k+1)*e^(-x)+2*(-e^(-x)*x-e^(-x))

(-x²+k-1)*e^(-x)-2x*e^(-x)-2e^(-x)

Nun kannst Du e^(-x) ausklammern, weil es ein Faktor ist, der in allen Summanden vorkommt:

e^(-x)*(-x²+k-1-2x-2)=

e^(-x)*(-x²-2x+k-3)+C=F(x)

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von iokii, 19

Erstmal ausmultiplizieren, dann sollte nur noch der Summand x^2 * e^-x Probleme machen. Den musst du dann 2 mal partiell integrieren, wobei du x^2 ableitest.

Kommentar von MundMs123 ,

Verstehe ich dich da falsch oder meinst du "aufleiten" ´, da ich ja die Stammfunktion benötige...

Kommentar von iokii ,

Bem partiellen integrieren leitest du einen der Faktoren ab und vom anderen bildest du die Stammfunktion, x^2 ist in diesem Fall der, den du ableitest.

Kommentar von JackieJackMack ,

das ableiten ist auf die partielle integration bezogen

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