Frage von spity, 35

Spezifischer Widerstand von Metallen mit Wärmeleitfähigkeit?

Hey, ich beginne in einigen Tagen mit der Sommerschule als Vorbereitung auf das Studium und bin auf eine Aufgabe gestoßen, die wir so in der Schule noch nie gerechnet haben. Ich habe bereits mich über "Fouriers Erfahrungssatz" belesen, komme jedoch trotzdem nicht weiter, das übersteigt bisher alles, was wir in der Schule dran hatten.

Kann mir da vielleicht jemand helfen?

Antwort
von WeicheBirne, 7

Die 2 in der Musterlösung ist etwas seltsam, aber mal abgesehen von diesem Faktor kommst Du folgendermaßen auf die Lösung.


Wenn wir uns die Ausgangsgleichung ansehen

ρ = ρ₀ ( 1+ a ΔT )

und mit der Lösung vergleichen, fällt zunächst einmal auf, daß wir von spezifischen Widerständen auf "ganz normale" Widerstände kommen müssen.


Laut Definition für spezifischen Widerstand gilt

https://de.wikipedia.org/wiki/Spezifischer\_Widerstand

ρ = R A / l

Wobei A die Querschnittsfläche des Metallstabs ist und l ein sehr kurzer Längenabschnitt im Metallstab.


Das setzen wir ein also

R A / l  =  R₀ A₀ / l₀  ( 1+ a ΔT )

Wenn wir davon ausgehen, daß der Metallstab trotz Temperaturunterschieden überall etwa die gleiche Ausdehnung hat, dann gilt näherungsweise

A ≈ A₀

l ≈ l₀

A und l kürzen sich also aus der Gleichung heraus und wir haben


R = R₀  ( 1+ a ΔT ) = R₀ + R₀ a ΔT

R - R₀ = R₀ a ΔT

( R - R₀ ) / R₀ = a ΔT


R - R₀  nennen wir jetzt mal ΔR

ΔR / R₀ = a ΔT


Auf der linken Seite sieht das schon ziemlich nach dem aus was wir haben wollen. Also schauen wir jetzt mal auf der rechten ob wir ΔT durch etwas anderes ersetzen können.

Für die Wärmestromdichte q gilt

https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4rmeleitf%C3%A4higkeit

q = λ ΔT / d

Ich vermute, daß die Aufgabenstellung hier unsauber formuliert hat und statt des Wärmestroms die Wärmestromdichte meint. Wir stellen die Formel nach ΔT um

ΔT = q d / λ

und setzen in unsere Gleichung ein

ΔR / R₀ = a q d / λ


Ein Vergleich mit der Musterlösung zeigt, daß auch hier wohl etwas unsauber formuliert wurde, denn es geht hier nicht um irgendeinen Widerstand R an einer beliebigen Stelle des Stabes, sondern um den Widerstand R₀.

Antwort
von kunibertwahllos, 17

naja Formel umstellen nach dem Gesuchten , aber das wußtest du sicher auch schon ^^

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