Frage von Tanechka25, 9

Soll ich alle Aksiomen zeigen: Abgescchlossenheit, Assoziativität, neutrales und inverses elemente?

Für welche n є N  ist (Zn\{0} , *n) eine Gruppe?

Zn = {0,1.....n-1}

Verknüpfung ist assoziariv

*n ist modulo n

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von DillyDally, 9

Ja, im Prinzip schon. n, die keine Primzahlen sind, kannst Du gleich durch die Abgeschlossenheit ausschliessen, 0 darf ja nicht in deiner Gruppe sein. Ich habe einmal angenommen das *n die Multiplikation modulo n ist. Assoziativität und neutrales Element sollten kein Problem sein. Das inverse Element ist ein wenig komplizierter. Da kann man sich aber den Beweis bei den Primzahlkörpern ausborgen.

Es reicht im Prinzip zu zeigen, dass die Multiplikation injektiv ist, d.h. 
a*b = a*c -> b-c = 0.
Wenn Du nun fuer ein gegebens a alle vielfachen a*b betrachtest, wobei b  {1,...,n-1} durchläuft, weisst Du, dass a*b nie 0 sein kannst und dass a*b eindeutig ist. Das bedeutet aber das die Multiplikation surjektiv ist, und dass du genau einmal auf das neutrale Element 1 stossen musst, und damit hat a ein inverses Element

Kommentar von Tanechka25 ,

Also, ja, mit den Primzahlen bin ich einverstanden. Das ist mir klar.

Voraussgesetzt ist die Gruppe assoziativ. Soll ich  dazu auch noch etwas schreiben? Oder reicht es wenn ich sage, es ist so nach der Voraussetzung. Also dann sind in der Gruppe genau diese Elemnte , die früher dort waren, außer Primzahlen und 0. Ja?

Weißt du, was mich noch verwirrt hat, warum steht in der Menge Zn "n-1", soll es nicht "n+1" heißen? oder macht es keinen Unterschied?

Kommentar von Tanechka25 ,

und noch eine Frage, wie kann ich das neutrale Element zeigen . Also ich vertsehe es an einem Beispiel, aber ich muss es allgemein zeigen oder ?

Reicht es, wenn ich so schreibe: "Sei k aus Zn beliebig, dann k *n  e=k   und das gilt genau dann, wenn e = 1 ?

Kann ich dann auch sagen, dass N = Zn, weil wir 0 aus Zn ausschließen?

Kommentar von Tanechka25 ,

Bist du noch da? Ich habe mir jetzt kurz überlegt, ob das mir der Abgeschlossenheit gilt...Guck, wenn ich nur 3,7 in der Menge habe. diese sind Primzahlen. und mache dann 3  *3   7   = 7 REST 0...oder dann gilt das nicht...oder?

Antwort
von Tanechka25, 5

Für welche n є N ist (Zn\{0}, *n) eine Gruppe?

Zn = {0,1,...n-1}

*n ist modulo n

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