Frage von Mavylin, 38

Sind meine Umkehrfunktionen richtig?

Hey, könnt ihr mir sagen ob das richtig ist? und wie ich diese probe mache? f(f-1) ?

wurzel x -5 wird zu x quadrat + 5

x quadrat wird zu wurzel x

Lg Mavylin

Antwort
von poseidon42, 13

Sei f(x) eine gegebene Funktion mit x als Argument, welches auf eine Menge Y, mit y als Teilelement, abbildet. So folgt für die Umkehrfunktion:

f^(-1)(y) , eine Abbildung aus dem Bereich Y, mit Teilelement y, nach der Menge X, mit Teilelement x.

Dies bedeutet im Endeffekt, dass für jedes x Element aus X gilt:

f^(-1)(f(x)) = x 

Die Verkettung von der Umkehrfunktion mit der ursprünglichen Funktion, "f^(-1) verkettet f ", liefert dir für alle x Element aus X, dem Definitionsbereich von f, x zurück.

Ein Beispiel hierfür wäre die Funktion:

f(x) = 5x + 10   mit  f: X ---> Y

für die Umkehrfunktion gilt :

f^(-1): Y ----> X

Die Funktion erhält man dann durch Umformung der Funktionsgleichung der ursprünglichen Funktion:

f(x) = y = 5x + 10  II -10

y - 10 = 5x   II *1/5

y/5  - 2 = x = f^(-1)(y)


Damit folgt also durch den Test der Verkettung beider Funktionen:

f^(-1)(f(x)) = f(x)/5 - 2 = (5x + 10)/5 - 2 = x + 2 - 2 = x 

Und damit haben wir nun unsere Umkehrfunktion gefunden.



Sei nun f(x) = (x)^(1/2) - 5   mit  f: [0,inf) ---> [-5, inf) 

So folgt für die Umkehrfunktion:

f^(-1): [-5, inf) ---> [0, inf)

Durch Umformung erhalten wir:

f(x) = y = (x)^(1/2) - 5   II +5

y + 5 = x^(1/2)   II (...)² 

(y+5)^2 = y² + 10y + 25 = x 

Damit lautet unsere Umkehrfunktion f^(-1) also:

f^(-1)(y) = y^2 + 10y + 25 

Wir können nun durch Verkettung von f^(-1)(y) mit f(x) zeigen:

f^(-1)(f(x)) = (x^(1/2) - 5)^2 + 10*(x^(1/2) - 5) + 25 

= x - 10*x^(1/2) + 25 + 10x^(1/2) - 50 + 25 = x

Damit ist also f^(-1) unsere gesuchte Umkehrfunktion.

Antwort
von poseidon42, 11

Sei f(x) eine gegebene Funktion mit x als Argument, welches auf eine Menge Y, mit y als Teilelement, abbildet. So folgt für die Umkehrfunktion:

f^(-1)(y) , eine Abbildung aus dem Bereich Y, mit Teilelement y, nach der Menge X, mit Teilelement x.

Dies bedeutet im Endeffekt, dass für jedes x Element aus X gilt:

f^(-1)(f(x)) = x 

Die Verkettung von der Umkehrfunktion mit der ursprünglichen Funktion, "f^(-1) verkettet f ", liefert dir für alle x Element aus X, dem Definitionsbereich von f, x zurück.

Ein Beispiel hierfür wäre die Funktion:

f(x) = 5x + 10   mit  f: X ---> Y

für die Umkehrfunktion gilt :

f^(-1): Y ----> X

Die Funktion erhält man dann durch Umformung der Funktionsgleichung der ursprünglichen Funktion:

f(x) = y = 5x + 10  II -10

y - 10 = 5x   II *1/5

y/5  - 2 = x = f^(-1)(y)

Damit folgt also durch den Test der Verkettung beider Funktionen:

f^(-1)(f(x)) = f(x)/5 - 2 = (5x + 10)/5 - 2 = x + 2 - 2 = x 

Und damit haben wir nun unsere Umkehrfunktion gefunden.

Sei nun f(x) = (x)^(1/2) - 5   mit  f: [0,inf) ---> [-5, inf) 

So folgt für die Umkehrfunktion:

f^(-1): [-5, inf) ---> [0, inf)

Durch Umformung erhalten wir:

f(x) = y = (x)^(1/2) - 5   II +5

y + 5 = x^(1/2)   II (...)² 

(y+5)^2 = y² + 10y + 25 = x 

Damit lautet unsere Umkehrfunktion f^(-1) also:

f^(-1)(y) = y^2 + 10y + 25 

Wir können nun durch Verkettung von f^(-1)(y) mit f(x) zeigen:

f^(-1)(f(x)) = (x^(1/2) - 5)^2 + 10*(x^(1/2) - 5) + 25 

= x - 10*x^(1/2) + 25 + 10x^(1/2) - 50 + 25 = x

Damit ist also f^(-1) unsere gesuchte Umkehrfunktion.

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 16

f(x)=y=Wurzel(x-5)
nach x umstellen: y²=x-5 => x=y²+5
x/y vertauschen: y=f^-1(x)=x²+5

f(x)=y=x²
nach x umstellen: x=+-Wurzel(y)
x/y vertauschen y=f^-1(x)=+-Wurzel(x)

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