Simulation eines Bungeesprungs?

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1 Antwort

Als Ausgangspunkt können wir uns überlegen, daß das Bungeseil die gesamte kinetische Energie des Falls aufgefangen haben muß wenn der Sack 0,5 m über dem Boden ist.

Das Seil wandelt die kinetische Energie durch seine Streckung in potenzielle um. Wenn es um die Länge x gestreckt wird besitzt es die potenzielle Energie

1/2 k x^2

k ist die Dehnungskonstante. Die wirst Du als "Kraft des Gummiseils in Abhängigkeit seiner Längenänderung" vorab bestimmen können.


Laß uns jetzt einmal überlegen wie viel kinetische Energie der gesamte Fall erzeugen wird. Das können wir durch die potenzielle Energie bestimmen, die alle Gegenstände im dritten Stock haben.

Wenn der dritte Stock die Höhe h besitzt und der Sack die Masse M dann hat er die potenzielle Energie 

M g h

wobei g die Erdbeschleunigung ist. Wenn der Sack bis zum Boden Fallen würde dann wäre das auch seine gesamte kinetische Energie. Da er aber nur bis zu einer Höhe von 0,5 m fallen soll ist die Energie seines Falls

M g ( h - 0,5 m)


Wir müssen auch bedenken, daß das Seil ebenfalls Masse hat und darum auch Fallenergie besitzt. Jeder Teil des Seils wird sich beim Fall in einer anderen Höhe befinden, aber wir können hier einfach den Fall des Massezentrums betrachten, das sich in der Mitte des Seils befindet. Wir tun also so als wäre die gesamte Masse in der Mitte des Seils.

Nehmen wir mal an Du entscheidest Dich für ein Seil der Länge L, das die Masse μ besitzt. Wenn der Sack die Höhe von 0,5 m erreicht hat befindet sich das Massezentrum des Seils bei

( h - 0,5 m) / 2

Also ist die Energie seines Falles

μ g ( h - 0,5 m) / 2


Die gesamte Enregie, die durch das Seil aufgefangen werden muß ist also

M g ( h - 0,5 m) + μ g ( h - 0,5 m) / 2

= 1,5 g ( M + μ ) ( h - 0,5 m)


Damit das Seil den Fall bei 0,5 m aufgefangen hat muß also gelten

1/2 k x^2 = 1,5 g ( M + μ ) ( h - 0,5 m)


Natürlich fängt das Seil nicht gleich an Energie aufzufangen sobald es aus dem dritten Stock geworfen wird. Es wird erst einmal seine ungestreckte Länge L abwickeln und dann anfangen sich um die Strecke x zu strecken.


Damit der Sack nur bis zur Höhe 0,5 fällt muß daher gelten

L + x = h - 0,5 m

oder 

x = h - L - 0,5 m


Für die Masse μ des Seils gilt außerdem 

μ = D L

D ist die Längendichte des Seils ( Gewicht pro Länge, Einheiten müßten Gramm pro Meter oder irgendetwas ähnliches sein). Die mußt Du auch vorher bestimmen.


Jetzt laß uns mal diese Bedingungen in die Energiegleichung einsetzen. Aus

1/2 k x^2 = 1,5 g ( M + μ ) ( h - 0,5 m)

wird also

1/2 k ( h - L - 0,5 m )^2 = 1,5 g ( M + D L ) ( h - 0,5 m)


Das müssen wir jetzt nach L auflösen

1/2 k ( L^2 - 2 L  ( h - 0,5 m) + ( h - 0,5 m)^2 )

= 1,5 g M ( h - 0,5 m) + 1,5 g D L ( h - 0,5 m)


L^2 - 2 L  ( h - 0,5 m) - 3 g D L ( h - 0,5 m) / k

= 3 g M ( h - 0,5 m) / k -  ( h - 0,5 m)^2


L^2 -  ( h - 0,5 m) ( 2 + 3 g D / k ) L

= 3 g M ( h - 0,5 m) / k -  ( h - 0,5 m)^2


L^2 -  ( h - 0,5 m) ( 2 + 3 g D / k ) L + ( h - 0,5 m)^2 ( 2 + 3 g D / k )^2 /4

= 3 g M ( h - 0,5 m) / k -  ( h - 0,5 m)^2 + ( h - 0,5 m)^2 ( 2 + 3 g D / k )^2 /4


( L - ( h - 0,5 m) ( 2 + 3 g D / k ) / 2 )^2

= 3 g M ( h - 0,5 m) / k +  ( h - 0,5 m)^2 ( ( 2 + 3 g D / k )^2 /4 -1)


L =  

( h - 0,5 m) ( 2 + 3 g D / k ) / 2 

- Wurzel( 3 g M ( h - 0,5 m) / k +  ( h - 0,5 m)^2 ( ( 2 + 3 g D / k )^2 /4 -1) )


Das ist die Formel mit der Du L berechnen wirst.


Also noch mal zusammengefaßt:

h, Höhe des dritten Stocks bestimmen

M, Gewicht des Sacks bestimmen

D, Längendichte des Seils bestimmen

k, Dehnungskonstante des Seils bestimmen

g ist 9,81 m/s^2

Alles in die Formel einsetzen und L ausrechnen.



Hier noch ein zwei Tipps:

1) Achte auf die Einheiten. Am besten wählst Du für Gewicht und Länge eine Einheit die Du beibehältst. So machst Du keine Fehler. Wenn Du also die Einheit Gramm gewählt hast und jemand gibt Dir ein Gewicht in Kilogramm an dann rechne das erst in Gramm um bevor Du es in die Formel einsetzt.

2) Du wirst etwas mehr als die Länge L brauchen, damit Du das Seil am Sack und im dritten Stock befestigen kannst. Am besten machst Du es zuerst am Sack fest bevor Du die Länge mißt die Du brauchst. Laß allerdings beim Festknoten nicht zu viel Überhang. Das ist zusätzliches Gewicht, das die Formel nicht berücksichtigt.

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