Frage von 96dominik712, 17

Signum eines Zykels bestimmen?

Meine Frage: Hallo, ich verzweifel gerade an einer Aufgabe, weil ich mit den Begriffen Permutationen usw. noch nicht so gut umgehen kann.

Meine Aufgabe lautet wie folgt:

Eine Permutation pi aus der symmetrischen Gruppe n heißt r-Zykel, wenn es paarweise verschiedene Elemente a_1,...,a_r aus der Menge {1,...,n} gibt mit

pi(a_i)=a_i+1 für i=1,...,r-1 pi(a_r)=a_1

und pi alle übrigen Elemente von {1,...,n} fest lässt. Bestimmen Sie das Signum für einen r-Zykel pi aus der symmetrische Gruppe n.

Meine Ideen: Ich dachte mir vielleicht, dass man die Fehlstände zählen könnte und dann damit das Signum berechnen kann, indem man sagt sgn(pi)=(-1)^k, wobei k die Anzahl der Fehlstände ist.

Sieht die Permutation so aus :

(1 -> 2, 2 -> 3, 3 -> 1), dann gilt ja auch, dass der Fehlstand 1 beträgt. Das könnte man ja so weiterführen bis n und der Fehlstand würde immer 1 betragen, also wäre das Signum immer -1. Dann ist mir aber aufgefallen, dass die Elemente a_1 bis a_r ja nicht unbedingt in der obigen Reihenfolge sein müssen... Ich weiß jetzt leider gar nicht, wie man das machen soll und hoffe, dass mir jemand helfen kann.

Vielen Dank im Voraus :)

Antwort
von Girschdien, 16

Ich bin schon zu lange aus dem Thema raus, aber auf der folgenden Seite gibt es eine Formel für das signum und ein Beispiel. Vielleicht hilft Dir das weiter (ich finde das Beispiel einleuchtend, habe aber gerade weder Zeit, noch Muse, das auf Deine aufgabe zu übertragen).

http://www.mathepedia.de/Signum.aspx

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