Frage von abashi28, 59

Beweis ins Detail, warum (xyz)⁴=x⁴·y⁴·z⁴ für alle Zahlen x,y,z!

Antwort
von claushilbig, 8

(xyz)⁴ = (xyz)(xyz)(xyz)(xyz)  -- nach Definition der Potenz

(xyz)(xyz)(xyz)(xyz) = xyzxyzxyzxyz  -- nach Assoziativgesetz

xyzxyzxyzxyz = xxxxyyyyzzzz -- nach Kommutativgesetz

xxxxyyyyzzzz = x⁴·y⁴·z⁴ -- nach Definition der Potenz

Antwort
von Manuel129, 18

Definiere erst einmal was eine Potenz ist.. das ist nämlich nichts anderes als eine Kurzschreibweise für x-Faches multiplizieren einer Zahl mit sich selbst.. a^5 = a*a*a*a*a*a (5-mal)

Egal das weißt du ja mit Sicherheit.. 

(x*x*x*x)  *(y*y*y*y) * (z*z*z*z) = (x*y*z)  * (x*y*z)  *(x*y*z)  *(x*y*z) = (x*y*z)^4

Antwort
von Naydoult, 21

Beweis durch vollständige Induktion:

z.z: (x*y)^n = x^n*y^n

I.A: y = 0

(x*0)^n = x^n*0^n

0 = 0

I.V: (x*k)^n = x^n*k^n

I.S: (x*(k+1))^n = x^n*(k+1)^n

(x*(k+1))^n = (x*k)^n+k
x^n*(k+1)^n = (x^n*k^n)+k
(x^n*k^n)+k = (x*k)^n+k

q.e.d

Prä-formaler Beweis:

(x1*y2)^n = x1*x2*...*x^n*y1*y2*...*yn = y1*y1*x2*y2*...*xn*yn = (x*y)^n

Kommentar von kreisfoermig ,

Deine Induktion ist irreführend und führt nicht zur gesuchten Gleichung. Insbesondere ist

x^n*(k+1)^n = (x^n*k^n) + k

falsch.

Unten stehen relevante Induktionsbeweise, die funktionieren.

Satz. Aus Lemma 2 unten folgt (x·y·z)⁴ = x⁴·y⁴·z⁴ für alle x, y, z ∈ ℕ. ⊣

Lemma 1. Sei A eine kommutative Algebra (wie ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, 𝔽₅,  usw.). Seien x,y∈A beliebig und fixiert. Dann gilt für alle n∈ℕ⁺

(x·y)ⁿ = xⁿ·yⁿ


Beweis (Lemma 1).

IA. Für n=1 gilt definitionsgemäß (x·y)ⁿ = x·y = xⁿ·yⁿ. (Man kann auch mit n=0 anfangen, solange die Algebra ein multiplikatives Neutralelement besitzt.)

IS. Sei n∈ℕ⁺. Angenommen, (x·y)ⁿ = xⁿ·yⁿ. Dann gilt:

(x·y)ⁿ⁺¹ = (x·y)ⁿ·(x·y)
(rekursive Definition von Potenzieren)
= (xⁿ·yⁿ)·(x·y) per Induktion
= (xⁿ·x)·(yⁿ·y)
(per Kommutativität+Assoziativität)
= xⁿ⁺¹·yⁿ⁺¹
(rekursive Definition von Potenzieren).

Darum gilt (x·y)ⁿ⁺¹ = xⁿ⁺¹·yⁿ⁺¹.

Per Induktion erhält man also (x·y)ⁿ = xⁿ·yⁿ für alle n∈ℕ⁺. QED.

Lemma 2.  Sei A eine kommutative Algebra (wie ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, 𝔽₅, usw.). Dann gilt für alle m∈ℕ⁺

(x[1]·x[2]·…·x[m])ⁿ = x[1]ⁿ·x[2]ⁿ·…·x[m]ⁿ

für alle x[1], x[2], … ,x[m] ∈ A und n∈ℕ⁺. ⊣

Beweis (Lemma 2).

IA. Für m=1 gilt die Aussage offensichtlich.

IS. Angenommen, die Aussage gilt für m∈ℕ⁺. Seien x[1], x[2], … ,x[m], x[m+1] ∈ A und n∈ℕ⁺ beliebig. Dann gilt

(x[1]·x[2]·…·x[m]·x[m+1])ⁿ
= ((x[1]·x[2]·…·x[m]) · x[m+1])ⁿ Assoziativität
= (x[1]·x[2]·…·x[m])ⁿ · x[m+1]ⁿ wegen Lemma 1
= x[1]ⁿ·x[2]ⁿ·…·x[m]ⁿ · x[m+1]ⁿ per Induktion.

Darum gilt die Aussage für m+1.

Per Induktion also gilt die Aussage für alle m∈ℕ⁺. QED.

Kommentar von claushilbig ,

Äh - ich vermute, der FS ist so etwa in der Klasse 8 oder so.

Glaubt Ihr beide ernsthaft, der versteht Eure Beweisführungen?

Kommentar von kreisfoermig ,

Deine Beweisführung in deiner Post ist gut—das dürfte jeder Schüler verstehen. Ich habe ja der Vollständigkeit halber die Ergebnisse oben verfasst.

Kommentar von Naydoult ,

Vielen Dank für die Korrektur! Der war recht schnell verfasst, da sich aber der Fragesteller bedankte ging ich davon aus er wäre richtig.

@claushilbig Es geht glaube mehr um die Klarheit, besser wenn das falsche korrigiert wird, als das es da immer stehen bleibt. So weiß jeder das mein Induktionsbeweis falsch war, sonst besteht die Gefahr das ihn jemand für wahr annehmen könnte und vielleicht verwendet. Der prä-formale Beweis ist für die achte Klasse aber zu verstehen.

Antwort
von Junkpilepunk, 32

x^4*y^4*z^4=x*x*x*x*y*y*y*y*z*z*z*z
=xyz*xyz*xyz*xyz=(xyz)^4

Antwort
von SoVain123, 30

Benutze einfach ein paar Zahlen für x,y und z und dann rechne es aus. Du wirst sehen, dass das gleiche rauskommt ;)

Kommentar von Naydoult ,

Das ist kein Beweis.

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