Frage von abashi28, 42

Zeige (beweise) detailliert, warum (2·3·7)⁴=2⁴·3⁴·7⁴!

auf deutsch oder englisch

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 18

Wenn du es spaßig findest, schreibst du die Faktoren alle hin, sortierst sie und fasst sie dann neu zusammen.

Oder du schätzt ein, dass die gewöhnliche Mathematik stimmt. In dieser heißt das 3. Potenzgesetz für diese Anwendung:

(abc)ⁿ = aⁿ bⁿ cⁿ

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathematik, 8

(2*3*7)^4
= (2*3*7) · (2*3*7) · (2*3*7) · (2*3*7)
= 2*2*2*2 · 3*3*3*3 · 7*7*7*7   (Kommutativgesetz)
= 2^4 · 3^4 · 7^4

Das ist der Weg ohne Potenzgesetze (vgl. Volens)

Antwort
von Naydoult, 13

x^n*y^n = x1*x2*...*x_n*y1*y2*...*y_n = x1*y1*x2*y2*...*x_n*x_y = (x*y)^n

Ist mir gerade jetzt so eingefallen, ist aber eher ein prä-formaler Beweis.

Geht natürlich auch umgekehrt, oder zeig es mit vollständiger Induktion für die natürlichen Zahlen.

z.z: (x*y)^n = x^n*y^n

I.A: y = 0

(x*0)^n = x^n*0^n

0 = 0

I.V: (x*k)^n = x^n*k^n

I.S: (x*(k+1))^n = x^n*(k+1)^n

(x*(k+1))^n = (x*k)^n+k

x^n*(k+1)^n = (x^n*k^n)+k

(x^n*k^n)+k = (x*k)^n+k

q.e.d

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