Schwingung: Wann hast man die Amplitude und wann bleibt etwas stehen?

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3 Antworten

Du beschreibst mit

(1) y(t) = y₀·sin(ωt)

eine ungedämpfte harmonische Schwingung mit der Amplitude y₀.

Da bleibt nicht wirklich etwas stehen, sondern die Geschwindigkeit erreicht lediglich einen Nulldurchgang, und zwar immer dann, wenn

(2.1) y(t) = y₀

ist, also bei

(2.2) sin(ωt) = 1
(2.3) ωt = (2n+1)π/2, n ∈ ℤ
(2.4) t = (2n+1)π/2ω.

Das sieht man der Sinuskurve eigentlich schon an. Analytisch kann man das mit Hilfe der Ableitungsfunktion

(3) ẏ(t) = y₀ω·cos(ωt)

berechnen, die an genau diesem Stellen Nulldurchgänge haben muss.

Wirklich dauerhaft stehen bleibt das System eigentlich nur, wenn es stark gedämpft ist - so stark, dass der aperiodische Grenzfall eintritt.

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Kommentar von Memmsn
19.05.2017, 01:03

Ich hab das mit den 2.1 etc nicht ganz verstanden wie leitet man eigentlich solch eine formel ab? Und wad bringt das ableitet eigentlich? Bei dieser formel 

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Kommentar von SlowPhil
19.05.2017, 09:48

Gleichung (2.1) ist ein Spezialfall von (1) für die Zeitpunkte, die (2.4) beschreibt.

Heißt: In den Augenblicken t, die ein ungeradzahliges Vielfaches von π/2ω=T/4 sind (T ist die Periodendauer, ω, sprich „omega“ ist die Kreisfrequenz 2πf=2π/T), ist die Auslenkung oder Elongation gerade maximal, also gleich der Amplitude.

Das Wort „ableiten“ muss ich vielleicht noch erklären: Die Elongation y(t) ist ja eine Funktion von t, d.h., jedem Zeitpunkt t ist genau eine Elongation y(t) zugeordnet. Wähle ich zwei Zeitpunkte t₁ und t₂, liegt zwischen diesen die Zeitspanne

Δt := t₂ – t₁.

In dieser Zeit ändert sich y natürlich von

y₁ := y(t#x2081;)

nach

y₂ := y(t₂)

um

Δy := y₂ – y₁

(die Änderung Δy kann natürlich 0 sein, es ist ja eine periodische Bewegung, und sie kann negativ sein). Die Durchschnittsgeschwindigkeit für dieses Zeitintervall

[t₁, t₂] = [t₁, t₁+Δt]

ist dann Δy/Δt.

Der nächste Schritt besteht darin, Δt immer kleiner zu machen. Irgendwann wird dann auch Δy immer kleiner, und Δy/Δt nähert sich einem Grenzwert, der irgendwann unabhängig von Δt wird. Im ganz Kleinen wird die Funktion irgendwann linear, d.h. Δt taucht irgendwann auch im Zähler auf und kürzt sich mit dem Δt des Nenners weg. Was dann übrigbleibt, heißt die Ableitung von y(t) in t₁ und wird mit ẏ(t₁) bezeichnet. Man schreibt auch dy/dt, wobei das 'd' anstelle des 'Δ' darauf hindeutet, dass dt und dy als sehr klein bzw. „unendlich klein“ gedacht sind.

Diese Ableitung ist nichts anderes als die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t₁, und die Momentangeschwindigkeiten zu allen Zeitpunkten ergeben wieder eine Funktion von t und heißt Ableitung von y nach t. Bei anderen Variablen als t verwendet man übrigens einen Strich, d.h., die Ableitung einer Funktion y(x) nach x wird als y'(x) bezeichnet. Der Punkt ist eine Spezialität für Zeitableitungen und wird auch nur in der Physik verwendet.

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Kommentar von SlowPhil
19.05.2017, 11:29

Du hattest gebeten, das anhand eines konkreten Beispiels zu zeigen.

Ein solches Beispiel wäre ein typischer Schulversuch, bei dem Du an eine Zugfeder aus Stahldraht mit der Federkonstanten D ein Massestück der Masse m hängst, guckst, wo die Gleichgewichtslage ist und da die Marke y=0 hingesetzt. Jetzt hast Du natürlich noch keine Schwingung, sondern Federkraft und Schwerkraft gleichen sich aus. Hebst Du aber das Masse auf ymax, oder, wie ich es genannt habe, y₀, an, verringert sich die Federkraft um D·y₀ und wird um diesen Betrag von der Schwerkraft überwogen. Lässt Du jetzt los, fällt das Massestück nach unten bis y=−y₀, wo die Federkraft um D·y₀ stärker ist als die Schwerkraft und das Massestück nach oben zieht. In der Gleichgewichtslage y=0 ist zwar die Kraft 0, aber die Geschwindigkeit maximal, deshalb geht das Massestück zurück in die Ausgangslage, y=+y₀.

Die Beschleunigung, die das Massestück bei y erfährt, ist die Kraft durch die Masse, also Dy/m bzw. (D/m)y (s.u.).

Je größer die Beschleunigung, desto größer ist die (Kreis)frequenz.

Schaut man sich die Beziehung genauer an, kommt man auf

(1) ω² = D/m ⇒ ω = √{D/m},

was sich aus der Differentialgleichung

(2) ÿ(t) = −(D/m)y(t)

ergibt (s.o.), wobei ÿ(t) gerade die Beschleunigung ist. Differentialgleichung heißt (2), weil sie eine Beziehung zwischen dem Ort und dessen zweifacher Zeitableitung, eben der Beschleunigung, beschreibt.

Man muss jetzt nicht Differentialgleichungen allgemein lösen können, aber man sollte wissen, dass Sinus und Cosinus Funktionen sind, für die gilt:

(3.1) d(sin(φ))/dφ = cos(φ)
(3.2) d(cos(φ))/dφ = −sin(φ)
(3.3) d(−sin(φ))/dφ = −cos(φ)
(3.4) d(−cos(φ))/dφ = sin(φ),

womit sich der Kreis schließt. Dabei ist φ ein Winkel oder eine Phase. Wenn im Argument (dem Ausdruck in Klammern) einer dieser Funktionen noch ein konstanter Faktor steht, wandert der beim Ableiten als Vorfaktor vor die Funktion:

(4.1) d(sin(ωt))/dt = ω·cos(ωt)
(4.2) d(ω·cos(ωt))/dt = −ω²·sin(ωt)
(4.3) d(cos(ωt))/dt = −ω·sin(ωt)
(4.4) d(−ω·sin(ωt) = −ω²·cos(ωt)

Die letzten beiden Gleichungen beschreiben die oben genannte Situation, denn wenn Du die Zeit beim Loslassen anfängst zu messen, ist

(5) y(t) = y₀·cos(ωt),

statt…sin(ωt). Damit es der Sinus wird, musst Du stattdessen nach unten ziehen und beim ersten Nulldurchgang (Durchgang durch die Gleichgewichtslage) anfangen zu messen, am besten mit einer Lichtschranke.

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Nach deiner Formel bleibt nichts stehen, da hier keine Dämpfung gegeben ist. Sie Welle setzt sich bis ins unedliche fort.

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Kommentar von SlowPhil
19.05.2017, 00:30

Doch, der Schwingkörper bleibt immer dann für einen Augenblick stehen, wenn er einen Umkehrpunkt erreicht.

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Du stellst erstmal eine Funktion auf, die angibt, wie hoch deine Amplitude bei jeder Periode ist. Dann berechnest du die Nullstelle davon. Die Nullstelle multipliziert mit der Periodenlänge ergibt etwa die Dauer, nach der dein System ruht. Und jetzt denk mal nach!

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Kommentar von Memmsn
19.05.2017, 00:02

Ist der ansatz also die formel falsch? Wie muss ich dann asätzen müsste doch eigentlich richtig sein?

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