Schwebt ein straffes Seil, welches um die Erde gespannt ist oder fällt es auf den Boden?

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15 Antworten

Die meisten hier denken wohl nicht genau nach.
Wie ein Vorredner von mir bemerkte: es kommt auf die eigenspannung an und vor allem müssen optimale Bedingungen herrschen. Die eigenspannung verhindert das fallen des Objekts wobei man sagen muss: bei einem Seil wird das wohl nicht funktionieren und auch gibt es keine so optimalen Bedingungen auf der Erde, dass es anders funktioniert. :)

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Vieleicht bin ich zu blöd, aber ich weiss nicht warum es schweben sollte?!?
Ich würde sagen es fällt zu Boden.

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Kommentar von Nayes2020
01.07.2016, 14:23

Auch keine Ahnung wie man auf die Idee kommt^^ Ich kann es mir nichtmal vorstellen xD

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Es fällt hinunter, da die Schwerkraft trotzdem existiert und die Erde ja alles in der Erdatmosphäre nach unter zieht!

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Es fällt! Gäbe es keine Atmosphäre und würde es sich mit enormer Geschwindigkeit drehen, dann wäre es in einem niedrigen Erdorbit und würde "schweben".

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Das fällt runter, da die Gewichtskraft größer ist als die Zentrifugalkraft.

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Ein Seil kann sich leicht verformen, würde also auf den Boden fallen. Denken wir uns einen starren Ring und die Erde als ideale Kugel, beide Körper mit völlig gleichmäßer Dichteverteilung. 

Da hat WeicheBirne korrekt vorgerechnet, dass der Ring schweben würde. Aber es wäre eine instabile Ruhelage. Die kleinste Störung durch ein zerfallendes Atom am Rande der Galaxis würde eine Schwankung verursachen, die sich selbst verstärkt. Der Ring würde sich an einer Stelle der Kugel nähern, von dieser genau dort etwas stärker angezogen, sich noch mehr und noch schneller annähern u.s.w. bis der Ring an einer Stelle die Kugel berührt. 

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Es fällt.

Der Vektor der Gravitation zeigt zum Erdmittelpunkt, also überall auf der Welt senkrecht zum Boden (fast zumindest, wenn man die Tatsache außer Acht lässt, dass die Erde ein Geoid ist). Schweben tut da nix. Selbst ein Satellit oder auch die ISS schweben übrigens nicht, sondern fallen zurück zur Erde. Nur bewegen sie sich dabei so schnell, dass sie immer "an der Erde vorbei" fallen.

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Kommentar von Wilkinson
01.07.2016, 15:20

Ähäm... Ich bin da ganz ehrlich: Was versteht man unter "Vektor" und "Geoid" ? 

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Ich denke es fällt zu Boden - Schwerkraft und so

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Um das Seil zum Schweben zu bringen, müsste man es erst auf die Fluchtgeschwindigkeit beschleunigen wie einen Erdsatelliten. Dabei würde es wohl wegen der Luftreibung verbrennen.

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Laß uns mal davon ausgehen, daß das Seil extrem hart und extrem rund ist -da verbigt sich nichts, es ist der perfekte Kreis. Laß uns außerdem davon ausgehen, daß die Erde eine perfekte Kugel ist. Das Seil ist also überall gleich weit von der Kugel entfernt.

In diesem Fall wird das Seil tatsächlich schweben. Um zu überprüfen ob das stimmt können wir die potentielle Energie des Seils im Schwebezustand mit der potentiellen Energie des Seils vergleichen wenn es an einer Stelle auf die Erde "gefallen" ist. Wenn die potentielle Energie des Schwebezustands geringer ist dann wird es schweben.



Die potenzielle Energie E eines Körpers der Masse M ist

E = M*g*h

wobei h die Entfernung des Körpers zum Erdboden ist und g die Erdbeschleunigung. Weil das Seil im Schwebezustand überall gleich weit von der Erde entfernt ist könntest Du das für diesen Zustand so berechnen. 



Was ist jetzt mit dem Zustand wo das Seil an einer Stelle die Erde berührt? Hier haben wir ein Problem, denn jeder kleine Abschnitt im Seil hat ja eine andere Entfernung zum Erdboden. Irgendwie müssen wir also für alle kleinen Abschnitte die potentielle Energie einzeln berechnen und dann alles aufaddieren. 

Wenn die Masse eines kleinen Abschnitts μ ist dann gilt für seine potentielle Energie e

e = μ*g*h(s)

Der Abstand zur Erdoberfläche h ist jetzt natürlich eine Funktion davon wo der kleine Abschnitt sich im Seil befindet. Dieses wo wird durch die Koordinate s ausgedrückt. Wir könnten zum Beispiel s=0 für den Punkt wählen, an dem das Seil die Erde berührt und gegen den Uhrzeigersinn um das Seil herumwandern. Jeder Punkt auf dem Seil erhält dann seine Koordinate s.

Das Seil hat einen Radius von R = r + 1m -wobei r der Erdradius ist. Daher hat es eine Länge von 2πR . Alle Koordinaten s werden also zwischen 0 und 2πR liegen.


Laß uns jetzt mal überlegen wie groß die Masse μ ist. Dazu können wir zunächst eine Längendichte ρ (also Masse pro Länge) für das Seil definieren

ρ := M/(2πR)


Wenn wir also die Masse eines Seilstückes der Länge Δs= s₂-s₁ wissen wollen, das zwischen den Koordinaten s₁ und s₂ liegt dann können wir einfach

ρ*Δs

rechnen. Wir wollen natürlich ganz winzige Längen betrachten die fast Null sind. In einem solchen Fall wo Δs gegen Null geht schreibt man in der Mathematik statt Δs ein ds. Die Masse eines ganz kleinen Seilstücks ist also

 μ=ρ*ds

und die potenzielle Energie dieses Seilstücks ist

e = g*h(s)*ρ*ds


Für die gesamte potentielle Energie des Seils müssen wir die potentiellen Energien all der kleinen Seilstücke aufsummieren. Wenn Du die Seilstücke unendlich klein machst (was wir ja wollen) wird aus der Summe ein Integral

E = Integral von 0 bis 2πR     g*h(s)*ρ*ds


Daß diese Formel korrekt ist kannst Du ganz einfach am Schwebezustand überprüfen. Da ist h für alle s-Koordinaten 1m und 

Integral von 0 bis 2πR     1m*g*ρ*ds

= 1m*g*ρ*2πR = 1m*g*M



Um die potentielle Energie für den Zustand auszurechnen, an dem das Seil die Erde an einer Stelle berührt müssen wir noch wissen wie hoch über dem Erdboden das Seil bei einer bestimmten s-Koordinate ist. Wir müssen also wissen wie die Funktion h(s) aussieht.

Diese Funktion hinzuschreiben ist nicht so einfach. Es wird allerdings etwas einfacher wenn wir statt s einen Winkel β nehmen für den wir vom Nullpunkt aus auf dem Seil gegen den Uhrzeigersinn entlanggewandert sind

β = s/R

Dann ist

ds = R dβ

und unser Integral sieht so aus

E = Integral von 0 bis 2π   g*h(β)*ρ*R*dβ


Laß uns jetzt mal ein (2-dimensionales) Koordinatensystem über die Erde und das Seil legen. Das Seil soll genau in der Ebene dieses Koordinatensystems liegen und der Mittelpunkt des Kreises, den das Seil beschreibt, soll auf der x-Achse bei x=-1m sein. Der Erdmittelpunkt soll im Ursprung des Koordinatensystems liegen. Seil und Erde berühren sich dann auf der x-Achse bei x=r.

h wollen wir nun über den Astand a ausrechnen, den das Seil bei einem bestimmten Winkel β zum Ursprung des Koordinatensystems und damit zum Erdmittelpunkt hat. Es gilt ja

h = a-r


Zunächst mal können wir die x- und y-Koordinate eines bestimmten Punktes auf dem Seil durch 

x = R cosβ - 1m

y = R sinβ

ausdrücken. Bedenke dabei, daß β der Winkel ist, den die x-Achse und der Seilradius (also die Linie vom Mittelpunkt des Seilkreises zum Ort auf dem Seil) enschließen.

Für a gilt

a = Wurzel( x^2 + y^2)

also gilt

h(β) =  Wurzel( (R cosβ - 1m)^2 + (R sinβ)^2 ) - r

= Wurzel( (R cosβ)^2 -2(1m)Rcosβ + (1m)^2 +(R sinβ)^2 ) - r

Wegen (cosβ)^2 + (sinβ)^2 = 1 gilt

h(β) =  Wurzel( R^2 -2(1m)Rcosβ + (1m)^2 ) - r


Das Integral können wir also schreiben als

E = Integral von 0 bis 2π   g*h(β)*ρ*R*dβ


=  g*ρ*R Integral von 0 bis 2π (Wurzel( R^2 -2(1m)Rcosβ 

+ (1m)^2 ) - r) dβ


= g*ρ*R (Integral von 0 bis 2π Wurzel( R^2 -2(1m)Rcosβ 

+ (1m)^2 ) dβ

- Integral von 0 bis 2π  r dβ)


= g*ρ*R (Integral von 0 bis 2π Wurzel( R^2 -2(1m)Rcosβ 

+ (1m)^2 ) dβ -2πr )


Dieses Integral zu lösen ist sicherlich sehr schwierig, aber für uns reicht es festzustellen ob das Ergebnis unserer Rechnung größer oder kleiner als die potentielle Energie im Schwebezustand 

(1m)*g*ρ*2πR

ist.



Wenn wir uns den Term  Wurzel( R^2 -2(1m)Rcosβ + (1m)^2 ) ansehen stellen wir fest, daß er manchmal kleiner und manchmal größer als R ist. Es wäre interessant zu sehen ob Wurzel( R^2 -2(1m)Rcosβ + (1m)^2 ) nach oben stärker von R abweicht als nach unten.

Dazu vergleichen wir mal die Werte von Wurzel( R^2 -2(1m)Rcosβ + (1m)^2 ) für β zwischen 0 und  π/2 mit den Werten von Wurzel( R^2 -2(1m)Rcosβ + (1m)^2 ) für β zwischen π und 3π/2. Für β zwischen 0 und  π/2 ist Wurzel( R^2 -2(1m)Rcosβ + (1m)^2 ) ja kleiner als R und für β zwischen π und 3π/2 ist Wurzel( R^2 -2(1m)Rcosβ + (1m)^2 ) größer als R.

Laß uns also mal immer einen Wert ß aus dem Intervall (0; π/2] nehmen und den entsprechenden Wert ß+π aus dem Intervall (π; 3π/2]. Wenn Wurzel( R^2 -2(1m)Rcosβ + (1m)^2 ) insgesamt nach oben stärker von R abweicht als nach unten müßte gelten

R-Wurzel( R^2 -2(1m)Rcosβ + (1m)^2 ) <= Wurzel( R^2 -2(1m)Rcos(β+π) + (1m)^2 )-R

Wegen

cos(β+π) = -cos(β)

können wir das schreiben als

R-Wurzel( R^2 -2(1m)Rcosβ + (1m)^2 ) 

<= Wurzel( R^2 +2(1m)Rcos(β) + (1m)^2 )-R

Das formen wir jetzt etwas um, um zu sehen ob die Ungleichung tatsächlich stimmt

2R <= Wurzel( R^2 -2(1m)Rcos(β) + (1m)^2 ) 

+ Wurzel( R^2 +2(1m)Rcos(β) + (1m)^2 )


4R^2 <= R^2 -2(1m)Rcos(β) + (1m)^2 + R^2 +2(1m)Rcos(β) + (1m)^2

+2 Wurzel( ( R^2 -2(1m)Rcos(β) 

+ (1m)^2 ) ( R^2 +2(1m)Rcos(β) + (1m)^2 ) )


4R^2 <= 2R^2 + 2(1m)^2 + 2 Wurzel( R^4 +2R^2(1m)^2

-4(1m)^2R^2 (cosβ)^2 +(1m)^4 )


R^2 - (1m)^2 <= Wurzel(R^4 +2R^2(1m)^2 

-4(1m)^2R^2 (cosβ)^2 +(1m)^4 )


R^4 -2R^2(1m)^2 + (1m)^2 <=

R^4 +2R^2(1m)^2 -4(1m)^2R^2 (cosβ)^2 +(1m)^4


-2R^2(1m)^2 <= 2R^2(1m)^2 -4(1m)^2R^2 (cosβ)^2


-4R^2(1m)^2 <= -4(1m)^2R^2 (cosβ)^2


-1 <= -(cosβ)^2

für β aus dem Intervall (0; π/2] stimmt das.

Genauso könnten wir auch noch Werte für Wurzel( R^2 -2(1m)Rcosβ + (1m)^2 ) mit β aus den Intervallen (π/2; π] und (3π/2; 2π] vergleichen und würden auch zu dem Schluß kommen, daß Wurzel( R^2 -2(1m)Rcosβ + (1m)^2 ) von R nach oben stärker abweicht als nach unten. 

Darum muß gelten

Integral von 0 bis 2π Wurzel( R^2 -2(1m)Rcosβ + (1m)^2 ) dβ

> Integral von 0 bis 2π    R dβ = 2πR


Also gilt

E > g*ρ*R (2πR -  2πr)

Wegen R - r = 1m haben wir 

E > g*ρ*R 2π(1m)

g*ρ*R 2π(1m) ist gerade die potenzielle Energie des Schwebezustands. Da die potenzielle Energie des Zustands wo das Seil die Erde berührt größer ist wird es also eher schweben.


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Kommentar von Maarduck
02.07.2016, 00:41

Du hast leider etwas wichtiges vergessen: Kleine Abweichungen verstärken sich von selbst, der Ring würde an einer Stelle auf die Erde fallen und an der gegenüberliegenden Stelle eben maximal abstehen.

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Was für eine Frage. Ohne Stützpfeiler fällt alles auf der Welt wegen der bekannten Gravitation = Erdanziehungskraft!

Glaubst Du, eine Kette von verbundenen LKW in der Länge des Erdradius =
mittlerer Erdradius R0 = 6.369,6 km

könnten  schweben?

Ich glaub das  nicht.

Geht vielleicht auf Mond und Mars, aber nicht hier, auf der Erde.

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Wieso sollte das Seil schweben? es fällt auf dem boden, einmal um die Welt.

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Ich denke es fällt, ist dann aber nicht mehr ganz so straff (relativ) gespannt.

LG.

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Das Seil würde sich "biegen" und auf die Erde fallen.

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Natürlich fällt es hin.

Ein Seil hat nur eine Geringe eigenspannung daher würde es ja keinen festen Körper abgeben und somit nach unten fallen.

Wenn du einen Ring, sagen wir aus Eisen einmal um die Erde legst sieht das ganze anders aus. Wobei du da das Problem hättes das du es niemals überall exakt 1m von der Erde entfernt plazieren könntest (bzw müsste es ja 100% im exakt gleichen Abstand vom Erdkern sein) Bei optimalsten bedingungen würde er dann vermutlich Schweben wenn du exakt am Äquator wärst. allerdings reicht eine kleine wind böhe und er würde fallen da sich der Abstand zur Erde an dieser Stelle ändert und somit das Prinzip nicht aufgeht.

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Kommentar von Nayes2020
01.07.2016, 14:22

Nein selbst ein Ring fällt. Die Vektoren zeigen überall auf der Welt Richtung Erdmittelpunkt

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