Frage von Fettesweibxd, 90

Schwarzschildradius richtig erklärt?

Hallo

Soweit ich weiß, ist der Schwarzschildradius einfach der Ereignishorizont eines schwarzen Loches, bei dem die Fluchtgeschwindigkeit größer sein muss als die Lichtgeschwindigkeit, weshalb auch Einsteins Relativitätstheorie versagt hat.

Aber was genau meint man damit, dass die Fluchtgeschwindigkeit größer sein muss? Denn dann heißt es dass es in den Sog flüchtet..

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 20

Der Halbsatz

…, weshalb auch Einsteins Relativitätstheorie versagt hat

trifft nicht zu, sondern das Gegenteil ist richtig: Schwarze Löcher setzen Einsteins Relativitätstheorie - und zwar die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) - voraus.

Dabei ist die gängige Erklärung, dass…

…die Fluchtgeschwindigkeit größer sein muss als die Lichtgeschwindigkeit…

…bestenfalls inakkurat.

Dass Du aber auch fragst,…

…was genau meint man damit, dass die Fluchtgeschwindigkeit größer sein muss?

…veranlasst mich, erst einmal das Wort »Fluchtgeschwindigkeit« zu erklären: Angenommen, Du stehst auf einem Himmelskörper der Masse M und schießt von einem Ort r₀ aus senkrecht nach oben. Das Projektil bewegt sich gegen die Schwerkraft und gewinnt daher an potentieller Energie E_p, »finanziert« dies mit seiner kinetischen Energie E_k, wobei die Summe im Idealfall (keine Reibung) konstant bleibt.

Da das G-Feld g(r) mit wachsendem r »schnell genug« schwächer wird, bleibt die Differenz zwischen den Potentialen (Potential Φ=E_p/m) an einem beliebig weit entfernten Punkt und Φ(r₀) stets endlich. Es ist üblich, das Gravitationspotential im Unendlichen gleich 0 zu setzen, sodass E_p(r) stets negativ ist, nach Newton

(1.1) E_p(r) = − G∙m∙M/r.

Erhält das Projektil genug Energie, dass E_p+E_k ≥ 0 ist, so kann es sich vom Himmelskörper beliebig weit entfernen, wobei es im Fall E>0 sogar noch kinetische Energie übrig behält. Ist E_p+E_k &<;0, so wird es irgendwann an einem Umkehrpunkt zum Stillstand kommen und zurückfallen wie ein hoch geworfener Stein.

Die kinetische Energie des Projektils ist nach Newton

(1.2) E_k = ½m∙v²,

und daraus ergibt sich die Fluchtgeschwindigkeit von r₀ aus als

(2.1) v₀ = √{2·G·M/r₀}

für den Grenzfall E_p+E_k=0. Mit dieser Geschwindigkeit gibt es

gerade eben

keinen Umkehrpunkt mehr. Umgekehrt ergibt sich für jede Geschwindigkeit v₀ ein r₀ mit v₀ als Fluchtgeschwindigkeit, nämlich

(2.2) r₀ = 2∙G∙M/v₀².

Der englische Naturforscher John Michell (1724-1793) war der Erste, der (2.2) auf v₀=c anwandte und vermutete, ein Körper der Masse M und einem Radius R&<;2∙G∙M/c² müsse sein eigenes Licht derart abbremsen, dass er dadurch unsichtbar bleibe. Ein Schwarzes Loch im Sinne dieses Begriffs ist dies jedoch

nicht

.

Dies gilt auch für die Verknüpfung der Newtonschen Gravitationstheorie mit der Speziellen Relativitätstheorie (SRT), die Überlichtgeschwindkeit »verbietet«, in der jedoch auch (1,2) nicht gilt. Der kinetischen Energie ist auch in der SRT keine Obergrenze gesetzt. Allerdings besagt schon die aus der SRT bekannte Formel E=mc², dass die kinetische Energie selbst als eine Art Masse fungiert, wenn man auch heute nicht mehr den Ausdruck »relativistische Masse« benutzt. Das deutet schon an, dass es von einem Potential Φ&<;–c² aus unmöglich ist, sich aus eigenem Antrieb beliebig weit zu entfernen.

Allerdings würde selbst dies normalerweise nicht zu einem

point of no return

führen, denn eine

endliche

Entfernung von einem solchen Himmelskörper müsste weiterhin möglich sein, nur dass es einem eben immer noch so erginge wie dem Projektil aus dem Beispiel.

Erst die ART sagt einen absoluten Ereignishorizont voraus, und das ist nicht etwa einfach eine räumliche Fläche, sondern eine raum-zeitliche, in deren Innerem r zu einer

zeitartigen

Koordinate wird, und zwar mit nach innen gerichtetem Zeitpfeil.

Kommentar von SlowPhil ,

Soweit ich weiß, ist der Schwarzschildradius einfach der Ereignishorizont eines schwarzen Loches,…

Es ist klar, was gemeint ist: Der Schwarzschildradius markiert den Ereignishorizont eines SL.

Allerdings stimmt auch dies nur dann, wenn das SL nicht rotiert und im Zweifelsfalle auch nicht geladen ist oder dergleichen. Der Schwarzschild-Radius geht trotz seines »Aussehens«

(1) rₛ = 2GM/c²

mitnichten aus der Newton'schen Gravitationstheorie und der Gleichung (2.1)/(2.2) der Antwort hervor, sondern aus den Einstein-Feldgleichungen, die den Energie-Impuls-Tensor mit der von einer Energieansammlung verursachte Raumzeitkümmung in Beziehung setzt, und zwar aus deren einfachster Lösung, der Schwarzschild-Metrik

(2) c²dτ² = c²dt²(1–rₛ/r) – dr²/(1–rₛ/r) – r²dθ² – r²sin²(θ)dφ².

Der Radiale Abstand zwischen zwei auf einer radialen Halbgeraden liegenden Punkten r₁ und r₂ in radialem Abstand ist größer als r₂–r₁, nämlich

(3) ∫_{r=r₁}^{r₂}dr'/(1–rₛ/r'),

ähnlich wie bei der Bocciakugel-Mulde aus dem populären Bild mit dem Gummituch (das ist einer der wenigen positiven Aspekte dieses Bildes), während r für die Fläche 4πr² einer »Umkugel« um die schwere Masse (die muss nicht einmal ein SL sein) steht.

Rotiert das SL allerdings, so ist (2) nicht anwendbar, sondern man muss auf die wesentlich komplexere Kerr-Metrik zurückgreifen, die ich in diesem Kommentar nicht darstelle, weil ich sie selbst noch nicht durchdrungen habe. Der Ereignishorizont wird kleiner, je größer der Drehimpuls ist, und außerdem entsteht ein zweiter Horizont weiter innen.

Antwort
von EinAlex6, 48

Der Schwarzschildradius ist die Entfernung von der Singularität bis zum EreignisHorizont. Also ein Radius...

Und die Fluchtgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit die man brauch um von einem Objekt abzuheben.
Bei der Singularität ist sie über der Lichtgeschwindigkeit also ist es dort unmöglich "abzuheben"
Ab den Ereignishorizont (also alles vor dem EH) hat eine niedrigere Fluchtgeschwindigkeit also könnte man dort theoretisch entkommen

Kommentar von SlowPhil ,

Deine Antwort enthält einige Fehler:

Der Schwarzschildradius ist die Entfernung von der Singularität bis zum EreignisHorizont. Also ein Radius...

Ist er nicht. Außerhalb des Horizontes bezeichnet r eine "Umkugel" um das SL mit  der Fläche A=4πr².

Innerhalb des Horizontes ist r sogar eine zeitartige Koordinate, wobei der Zeitpfeil nach innen gerichtet ist.

Und die Fluchtgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit die man brauch um von einem Objekt abzuheben.

Nein, wenn Du einen Stein hochwirfst, hat er nicht Fluchtgeschwindigkeit, deshalb kehrt er wieder zurück. "Abheben" kann er trotzdem.

Kommentar von EinAlex6 ,

Ok Fluchtgeschwindigkeit braucht man um das Gravitative Feld eines Objektes zu verlassen.

Antwort
von NutzlosAlpha, 59

Hey,

einen "Sog" gibt es nicht. Schwarze Löcher sind in diesem Sinne nichts anderes als gewöhnliche Objekte der Schwerkraft. Gemeint mit Fluchtgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit weg vom Schwerezentrum, also vom Ereignishorizont in Richtung freier Raum, nicht tiefer in das schwarze Loch hinein.

Kommentar von Fettesweibxd ,

also ist es anderherumrichtig. das die Lichtgeschwindikeit schneller sein muss als die Fluchtgeschwindigkeit sonst kann man sich das ja nicht anders erklären.

Kommentar von Fettesweibxd ,

beschreibt die Größe, auf die eine Kugel einer bestimmten Masse komprimiert werden muss, damit die Geschwindigkeit eines Körpers, der ihrem Gravitationsfeld entkommen will, der Lichtgeschwindigkeit entsprechen muss (was laut Einstein nicht möglich ist, da keine Masse auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigen kann). ich verstehe diesen Satz einfach nicht

Kommentar von NutzlosAlpha ,

beschreibt die Größe, auf die eine Kugel einer bestimmten Masse
komprimiert werden muss, damit die Geschwindigkeit eines Körpers, der ihrem Gravitationsfeld entkommen will, der Lichtgeschwindigkeit entsprechen muss

Ja wie gesagt, du sollst sagen, auf welche Größe ein Körper mit einer bestimmten Masse haben muss, damit die Fluchtgeschwindigkeit der Lichtgeschschwindigkeit gleicht.

Die Antwort hierauf ist, dass es hierbei um die Größe des Schwarzschildradius handelt

was laut Einstein nicht möglich ist, da keine Masse auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigen kann)

Du denkst bereits über die gewünschte Aufgabe hinaus, was hier nicht das Ziel ist.

Kommentar von Eisfreak ,

Damit sich das Objekt entfernen könnte, müsste es schneller sein als das Licht (die Fluchtgeschwindigkeit ist größer als die Lichtgeschwindigkeit). Das geht aber nicht.

Kommentar von NutzlosAlpha ,

Nicht die Lichtgeschwindigkeit muss größer sein, sondern die Fluchtgeschwindigkeit eines Objektes, dass von dort entkommen will, müsste größer als die Lichtgeschwindigkeit sein, damit dies auch gelingt. Weil aber nichts schneller als das Licht sein kann, gelingt die Flucht aus einem schwarzen Loch nicht.

Kommentar von SlowPhil ,

Nein, wenn die Lichtgeschwindigkeit größer ist als die Fluchtgeschwindigkeit von einem bestimmten Ort r₀, dann wird bei r₀ erzeugtes Licht ins »Unendliche« entkommen. Dabei erfährt es eine Frequenzverschiebung um den Faktor

(1) f(r₀)/f(∞) = 1/√{1 – rₛ/r₀},

der auch schon die Zeitdilatation andeutet - die im Gegensatz zu der Zeit»dilatation« der SRT den Namen wirklich verdient.

Das mit der Fluchtgeschwindigkeit haut aber wie gesagt nicht hin, denn es erklärt nicht, wieso das Licht von r<rₛ aus nicht nur nicht mehr ins »Unendliche« entkommt, sondern gar nicht mehr zu irgendeinem r'>r gelangen kann.

Kommentar von SlowPhil ,

Die Idee der populärwissenschaftlichen Erklärung des Ereignishorizonts ist aber nun einmal, dass die Fluchtgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit überschreite und genau deshalb eben unerreichbar sei. Das ist natürlich nicht ganz falsch, denn warum »verbietet« die SRT nicht nur Lichtgeschwindigkeit bei massiven Körpern, sondern auch Überlichtgeschwindigkeit für jede Form von Information? Weil sie Punkte miteinander verbindet, die keine festgelegte zeitliche Reihenfolge haben und deshalb auch nicht der Kausalität unterliegen können.

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