Frage von kzumollegah, 50

Schnittpunkte Parabel mit Kreis?

Ich versuche die Schnittpunkte der Parabel y=x^2/4 mit dem Kreis x^2+(y-1)^2=4 zu berechnen. Grafisch weiß ich, dass es sich um die Punkte (-2;1) und (2;1) handelt. Rechnerisch habe ich die linke Gleichung nach x^2 gelöst: x^2=4x und für x^2 in der rechten Gleichung eingesetzt. Dies führt zur quadratischen Normalform y^2+2y-3=0. Mit der p-q-Formel erhält man nun die Lösungen y_1/2 = -1 +- Wurzel(1-(-3)) = -1 +- 2 also die y-Werte 1 und -3. Eigentlich muss ich ja zweimal 1 rausbekommen. Ich verstehe nicht woher die -3 kommt. Werder der Kreis noch die Parabel kann überhaupt so werte annehmen ...

Antwort
von Schachpapa, 25

Wenn du statt nach x^2 aufzulösen, den y Wert einsetzt also

x^2+(x^2/4-1)^2=4

kannst du umformen zu

x^4/16+x^2/2-3 = 0

und wendest die Substitutionsregel an. Dann bekommst du für x die erwarteten Werte 2 und -2

Warum du bei deiner Lösung die beiden reellwertigen Lösungen verlierst, sehe ich jetzt auch nicht auf Anhieb, wahrscheinlich tust du etwas Verbotenes.

Kommentar von Schachpapa ,

Nochmal hingeguckt: du verlierst ja die reellwertigen Losungen nicht. Wenn du mit deiner Lösung y=1 in y=x²/4 gehst, erhältst du beide x-Werte 2 und -2.

Löst du -3=x²/4 nach x auf, erhältst du ±√(-3)/2 bzw. ±√3/2 * i

Antwort
von iokii, 37

Für komplexe x-Werte schneiden dich sich da.

Edit:  Für x=2i*sqrt(3) ist y=-3 in beiden Gleichungen eine Lösung.

Kommentar von kzumollegah ,

Echt, ich dachte jede quadratische Gleichung kann maximal 2 Lösungen haben, und da Kreis und Parabel sich im Realen schon zweimal schneiden, müssten das doch alle sein? Außerdem müsste ich doch zwei mal +1 bekommen (doppelte Nullstelle), wegen der 2 Schnittpunkte?

Kommentar von iokii ,

Das +1 gibt dir den y-Wert an, bei dem die beiden sich schneiden, wenn du das dann in deine Ursprungsparabel einsetzt, kriegst du 2 x-Werte dazu, weil quadratische Gleichungen ja 2 Lösungen haben.

Quadratische Gleichungen in mehreren Variablen verhalten sich anders als solche in nur einer, von daher kommst du auch auf mehr als 2 Lösungen.

Kommentar von kzumollegah ,

Danke! 

Antwort
von Zwieferl, 9

Die -3 kommt einfach aus der Rechnung! Du hast insgesamt 4 Schnittpunkte, von denen 2 real sind, nämlich (-2/1) und (2/1), und 2 imaginär sind, nämlich (i·√12/-3) und (-i·√12/-3).

Da es sich um reale Kurven handelt, gilt natürlich, dass x und y bei ∈ ℝ sein müssen, wodurch die die imaginären Lösungen keine Lösungen sind, weil der x-Werte ∉ ℝ sind.

Antwort
von kzumollegah, 33

Hier noch beide Gleichungen gezeichnet... 

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community