Frage von Mstr18, 59

Schnittpunkt ln(x) und lg(x)?

Hi, ich hab mir jetzt schon seit Stunden den Kopf über folgender Fragestellung zerbrochen: In welchem Punkt und unter welchem Winkel schneiden sich die Funktionen f(x)=ln(x) und g(x)=lg(x). Meine erste Idee war es das ganze gleich zu setzen also:

ln(x) = lg(x)

Da ja lg(x) = ln(x)/ln(10) gilt folgt:

ln(x)=ln(x)/ln(10)

Das sieht finde ich schon mal recht komisch aus, da ja der ln(x) nicht das gleich wie ln(x) durch ln(10) sein kann oder!?

Wenn mir jemand helfen kann die Gleichung so umzustellen dass ich auf einen X-Wert komme aus dem ich ja dann den Schnittpunkt berechnen kann wäre ich sehr dankbar :D Der Winkel sollte dann ja kein Problem sein. Die Lösung für das Problem wenn man sich die Graphen einfach mal anschaut ist ja ganz klar (1/0) als Schnittpunkt. Wie man da jetzt rechnerisch drauf kommt weiss ich aber nicht.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 34

Forme die Gleichung

ln(x)=ln(x)/ln(10)

um nach

ln(x)-ln(x)/ln(10) = 0

Hier kannst du y := ln(x) substituieren und die Lösungen für y ermitteln.

Kommentar von Mstr18 ,

Ich hab das mal durchgeführt und hab folgendes bekommen:

y-y/ln(10) = 0                |-y

-y/ln(10) = -y                 |* ln(10)

-y = -y*ln(10)                 | / -y

-y/-y = ln(10)

1 = ln(10)

und jetzt hab ich ja einen mathematischen Fehler... ?!?

Kann sein, dass ich mich grade sehr dämlich angestellt hab aber ich seh den Fehler grade net

Kommentar von PWolff ,

Beim Teilen beider Seiten einer Gleichung musst du ausschließen, dass der Nenner 0 wird. Wenn du das nicht allgemein nachweisen kannst, musst du eine Fallunterscheidung machen.

Ich dachte übrigens eher an Ausklammern:

y (1 - 1/ln(10)) = 0

=> y = 0 ∨ 1 - 1/ln(10) = 0

=> y = 0 ∨ ln(10) = 1

(Das ist übrigens dasselbe Ergebnis, was du bei einer Fallunterscheidung beim Teilen durch y erhältst)

Kommentar von soulflow ,

Du darfst y nicht kürzen und insbesondere nicht durch y teilen. Wer sagt denn, dass y nicht 0 ist. Du hast y-y/ln(10) =0. das ist
ln(10)*y-y=0
(ln(10)-1)*y =0
=> y=0

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