Frage von Zaladusadu, 62

Schnittpunkt Kreis & Parabel nur an einer Stelle?

Guten Abend zusammen,

mein Versuch liegt darin, einen Kreis die Parabel ausschließlich im TP schneiden zu lassen. Im Umkehrschluss heißt das ja, dass der Kreis in die Parabel "hineinpassen" soll (der Kreis soll nicht unterhalb der Parabel sein).

Hierbei gehen wir von einer allgemein gehalten, aber nach oben geöffneten Parabel aus, die ihren TP im Ursprung hat. (also f(x)=ax^2)

Letztendlich habe ich es immerwieder geschafft, dass der Kreis die Parabel im Ursprung schneidet, jedoch auch die Seitenarme der Parabel.

Momentan steh ich einfach auf dem Schlauch, wie ich ausschließen kann, dass der Kreis und die Parabel mehr als einen Schnittpunkt haben....

Wäre nett wenn mir da einer auf die Sprünge helfen kann ;D

LG

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Peter42, 30

hm - habe gerade kein Matheprogramm greifbar ums auszutesten, aber eine überschlägige Rechnung lässt mich vermuten, dass die "Grenze" genau dann erreicht ist, wenn zwischen dem Parameter " a " der Parabel und dem Radius " r " des Kreises die Beziehung a*r = 1/2 gilt.

Idee dabei: Kreis wird beschrieben durch x^2 + y^2 = r^2, auflösen nach y gäbe y = wurzel( r^2 - x^2) und das setzt man mit der Parabelgleichung gleich (Achtung, die Parabel hat dann nicht(!) die Form y = ax^2, sondern ist um r nach unten verschoben. Den Quatsch kann man umformen um die Nullstellen von x zu bekommen - und (wenn meine flüchtigen Überschläge nicht allzu gewagt waren) kommt nur für a*r =1/2 nur ein Schnittpunkt hin - probiers mal aus ob das stimmen könnte (oder rechne es exakt aus - Ansatz ist wohl klar).

Kommentar von Zaladusadu ,

Ach du meine Güte ':D! Vielen Dank, das müsste es sein. Ich hab die ganze Zeit nicht die Parabel nach unten verschoben, sondern den Kreis um r nach oben..... da erhält man eine ganz andere Abhängikeit. Vielen, vielen Dank ':D das Leben könnte so einfach sein ':D...

Kommentar von kepfIe ,

Hab das grad mit meinem Mitbewohner nachgerechnet. a*r=1/2, bzw. r=1/(2a) stimmt.

Kommentar von Peter42 ,

prima, Dankeschön für die Info.

Kommentar von Zaladusadu ,

hmmm, bei mir taucht irgendwie immernoch ein Fehler auf, wenn ich den Rechenweg aufschreibe. 

In welchem Sinne meinst du "auf Nullstellen Umformen"?

Kommentar von Zaladusadu ,

Also wenn ich das ganze gleichsetzte (als Parabelgleichung verwende ich f(x)=ax^2 - r), dann das ganze auf x auflöse, kommt bei mir eine riesen Wurzel heraus. Ich komme einfach nicht auf die a*r=1/2

Kommentar von Peter42 ,

meine (vielleicht etwas hemdsärmelige) Rechnung war folgende:

vom Kreis y = wurzel( r^2 - x^2),

von der Parabel y = ax^2 - r

gleichsetzen gibt wurzel (...) = ax^2 - r

quadrieren gibt r^2 - x^2 = a^2x^4 - 2arx^2 + r^2

r^2 fällt raus, gibt a^2x^4 -2arx^2 = -x^2

durch x^2 teilen (könnte gewagt sein) gibt a^2x^2 - 2ar = -1

umformen gibt x^2 = (1 - 2ar)/a^2

und dieser Ausdruck ist = 0 (sonst gäbe es 2 Berührungspunkte) für 1 = 2ar oder eben ar = 1/2 

Antwort
von poseidon42, 19

Seien:

f(x) = ax²      und    g(x) = +/- sqr(r² - x²) + h(0)

So folgt durch den Berührpunkt bei x = 0:

f(0) = 0  --> g(0) = 0  --> h(0) = -/+ r

damit also:

g(x) = +/- sqr(r² - x²) -/+ r

Nun sollte sinnvollerweise noch gelten:

g´(x) = f´(x)  für x = 0

mit  g´(x) = -/+ x/sqr(r² - x²)   und   f´(x) = 2ax

die Bedingung ist also erfüllt.

Jetzt soll noch gelten:

|g´(x)| > |f´(x)|   für x aus (-r, r)\{0}, damit also:

|x|/sqr(r² - x²) > 2|ax| 

---> |x| > 2*|a|*sqr(r² - x²)*|x|

---> 1/(2*|a|) > sqr(r² - x²)  II (...)^2  || + x²

---> (1/(2*|a|))² + x²  > r² 

Da x²  >  0 für alle x aus unserem betrachteten Intervall folgt also als beste Abschätzung (da x nicht 0 werden kann):

(1/(2*|a|))² + x² >  (1/(2*|a|))² =  r² 

und damit also:

r = 1/(2*|a|)

Damit lautet also unsere Gleichung für den Kreis:

g(x) = +/- sqr{ (1/(2*|a|))² - x² } -/+ 1/(2*|a|)

Die Bedingung |g´(x)| > |f´(x)|   für x aus (-r, r)\{0} folgt, da der Kreis symmetrisch zur Y-Achse ist und da er keinen weiteren Berührpunkt mit der Parabel haben soll. ("Der Kreis steigt und fällt schneller vom Ursprung aus als die Parabel")

Antwort
von halbsowichtig, 34

Der Kreis liegt unter der Parabel.

Anders gesagt: Die Parabel steht aufrecht und tangential auf dem Kreis, beide Arme zeigen davon weg.

Kommentar von Zaladusadu ,

genau das ist die frage... es müsste doch auch ein kreis "hineinpassen" ?

Kommentar von halbsowichtig ,

Dann muss sein Radius klein genug sein.

Kommentar von Zaladusadu ,

jup genau ;D die Frage ist, wie ich die Größe des Kreises herausfinde, also im Umkehrschluss der Radius in Abhängigkeit von a(in der Parabelfunktion)

Kommentar von halbsowichtig ,

Für die Parabel gilt:

f(x) = ax^2

Der Kreis steht auf dem Nullpunkt, sein Mittelpunkt ist also (0, r). Vom rechten Parabelarm ist er r Einheiten entfernt, dieser muss also weiter rechts als (r, r) liegen. Die Parabel duckt sich sozusagen flach unterm Kreis durch. Das heißt:

f(r) = ar^2 < r

Das teilst du durch r:

ar < 1

Und dann durch a:

r < 1/a

Das heißt, jeder Kreis, dessen Radius kleiner als 1/a ist, berührt die Parabel ausschließlich in (0, 0).

Kommentar von Geograph ,

Das stimmt leider nicht

r ≤ 1/(2a)

Antwort
von ByteJunkey, 26

Soll sich der Kreis "in" der Parabel befinden oder soll er außerhalb platziert sein?

Kommentar von Zaladusadu ,

"in" der Parabel :)

Kommentar von ByteJunkey ,

Dann musst du den Kreis entsprechend positionieren und transformieren, dass es genau passt ;)

Kommentar von Zaladusadu ,

Naja, mir geht es eher darum herauszufinden, wie groß der Kreis ist (sprich den Radius herausfinden). Letztendlich möchte ich den Radius in Abhängigkeit von a herausfinden. Doch bei mir schneidet der Kreis immer in Drei Punkten. Eine Idee, wie ich es vermeiden kann, dass der Kreis in mehr als in einem Punkt die Parabel schneidet ?

Kommentar von ByteJunkey ,

Also wenn der Kreismittelpunkt von der x-Achse gesehen genau im Zenit zum Scheitelpunkt steht, dann wirst du entweder 0, 2 oder mehr Schnittpunkte haben.

Das liegt daran, weil sobald der Kreis einen "Parabelarm" berührt, wird der andere Arm auch berührt ;)

Antwort
von Geograph, 17

Parabel: y = ax²

Kreis, der den Nullpunkt berührt: x² + (y-r)² = r²

y eingesetzt: x² + (ax² - r)² = r²

x² + a²x^4 – 2rax² + r² = r²

x² • (1 + a²x² -2ra) = 0

Nullstellen nur bei x = 0

1 + a²x² -2ra = 0

x² - 2r/a + 1/a² = 0

x = √(1-2ra) = 0

maximaler Kreisradius, bei dem der Kreis nur einen Berührungspunkt mit der Parabel hat:

r = 1/2a

3 Schnittpunkte bei r > 1/2a

Kommentar von ralphdieter ,

Endlich mal eine richtige Antwort — Danke!

Für die anderen füge ich ein paar Erklärungen an:

  1. Ein Kreis wird durch eine quadratische Funktion beschrieben:
    (x-x₀)²+(y-y₀)²=r². Da ist weit und breit keine Wurzel drin.
  2. Kreis und Parabel haben bis zu vier Schnittpunkte. Um sie zu finden, muss man also die Wurzeln eines Polynoms vierten Grades finden.
  3. Durch geschickten Ansatz der Kreisgleichung (x₀=0, y₀=r) erzwingt man, dass zwei Schnittpunkte im Ursprung zusammenfallen. Das Polynom hat dann die einfache Form x²·(...).
  4. Die zweite Hälfte der Gleichung vierten Grades (a²x² +1-2ra) liefert die anderen beiden Schnittpunkte.
  5. Gefragt sind aber nicht die Schnittpunkte selbst, sondern nur, für welche Werte von r keine existieren oder die Lösungen mit dem bekannten Schnittpunkt (0;0) zusammenfallen.
  6. Geograph hat dieses Problem schnurstracks gelöst. Einfacher geht's vermutlich nicht.

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