Frage von MaxKurse, 70

Schienenfahrzeug hat die Masse von 60t. Wie groß muss die Bremskraft dann sein um die Geschwindigkeit innerhalb einer halben Minute von 54km/h auf 27 km/h?

Muss man nicht F=m*a machen? Aber was ist dann das ergebnis

Antwort
von poseidon42, 30

Also der Zug hat vor dem Bremsvorgang eine kinetische Energie von:

Ekin(0) = 0.5*m*v(0)²   II v(0) ist die Geschwindigkeit vor dem Bremsvorgang

Nach dem Bremsvorgang besitzt der Zug nur noch eine kinetische Energie von:

Ekin(1) = 0.5*m*v(1)^2  II v(1) ist die Geschwindigkeit nach dem Bremsvorgang

Nach dem Energieerhaltungssatz kann keine Energie verloren gehen, deshalb muss eine Arbeit verrichtet worden sein. Diese Arbeit entspricht hier in diesem Fall der Differenz beider energetischer Zustände am Anfang und Ende des Bremsvorgangs. Daraus folgt aus für die verrichtete Arbeit :

W = Ekin(1) - Ekin(0) = 0.5*m*(v(1)² - v(0)²)

Nun lautet die Formel für die Arbeit: 

W = F*s 

mit F = Kraft, s = Weg . Nehmen wir nun einmal vereinfacht an, die auf den Zug wirkende Bremskraft F wäre konstant, daraus folgt aus der Gleichung für die Kraft: F = m*a , dass sowohl die Masse als auch die Geschwindigkeit konstant sein müssen. 

Nun kennen wir ja noch die Gleichung für die Beschleunigte Bewegung:

s(t) = 0.5*a*t² + v(0)*t + s(0)  

s(0) die Entfernung zum Zeitpunkt t= 0s ist hier 0m.

Die Geschwindigkeit v(0) ist die Geschwindigkeit vor dem Bremsvorgang

a ist eine Konstante und zwar die Bremsbeschleunigung 

Damit lautet die Formel für unseren Weg also:

s(t) = 0.5*a*t² + (2*Ekin(0)/m) *t 

[da:  Ekin(0) = 0.5*m*v(0)²   II *2 II *1/m  II  

---->   (2*Ekin(0)/m) = v(0)   ]

Wenn wir dies nun alles in die Gleichung für die Arbeit einsetzen erhalten wir:

W = Ekin(1) - Ekin(0) = F*s = F*s(t) = F*(0.5*a*t² + (2*Ekin(0)/m) *t )

Nun gilt ja wie oben beschrieben: F = m*a = const.

----> W = Ekin(1) - Ekin(0) = m*(0.5*a²t² + a*(2*Ekin(0)/m) *t )

Und nun noch die Ausdrücke für Ekin(0) und Ekin(1) einsetzen und wir erhalten:

----> W = 0.5*m*(v(1)² - v(0)²) = m*(0.5*a²t² + a*(2*(0.5*m*v(0)²)/m) *t )

Dies Formen wir jetzt erstmal nach a um:

0.5*m*(v(1)² - v(0)²) = m*(0.5*a²t² + a*(2*(0.5*m*v(0)²)/m) *t ) II *1/m

0.5*(v(1)² - v(0)²) = (0.5*a²*t² + a*(v(0)²) *t )

0.5*(v(1)² - v(0)²) = (0.5*a²*t² + a*v(0) *t )   II *2

v(1)² - v(0)² = a²*t² + 2*a*v(0) *t   II *1/t²

(v(1)² - v(0)²)/t² = a² + 2*a*v(0)/t    II - (v(1)² - v(0)²)/t²

0 = a² + (2*a*v(0)/t)  - (v(1)² - v(0)²)/t²

Und nun haben wir hier ja ein Polynom 2.Grades stehen (eine quadratische Funktion) der Gestalt:

f(a) = a² + b*a  + c  

Und Gleichungen dieser Form:

0 = a² + b*a  + c  

Lassen sich ja mit der PQ-Formel lösen, daher benutzen wir hier jetzt die Pq_ Formel:

0 = a² + (2*a*v(0)/t)  - (v(1)² - v(0)²)/t²  II pq-Forme

a(1|2) = (-v(0)/t)  +/-  ((v(0)²/t²) + (v(1)² - v(0)²)/t²))

= (-v(0)/t)  +/-  ((v(0)² + v(1)² - v(0)²)/t²)

= (-v(0)/t)  +/-  ( v(1)²/t²)

= (-v(0)/t)  +/-   v(1)/t

= (-v(0) +/-  v(1))/t 

Also hättest du damit also die Gleichung zur Berechnung der Beschleunigung:

a(1|2) =  (-v(0) +/-  v(1))/t 

[Achte auf das "-" vor dem v(0)]

Setzen wir nun deine Werte ein erhalten wir:

v(0) = 54km/h = 15 m/s

v(1) = 27km/h = 0.5*v(0) = 7.5 m/s

t = 0.5 min = 30s

---> a(+) = (-15m/s + 7,5 m/s)/30s = - 0.25 m/s²

---> a(-) = (-15m/s - 7.5 m/s)/30s = - 0.75 m/s²

Nun überprüfen wir nur noch welcher der beiden der richtige Wert ist:

s(30s, a(+)) =  337.5 m

s(30s, (a-))  = 112.5

m = 60t = 60000

F(a(+)) = - 15000 N

F(a(-)) = - 45000 N

----> W = F*s

W(a(+)) = - 5062500 J

W(a(-)) = - 5062500 J

Ekin(1) - Ekin(0) =  - 5062500 J

Damit sind beide Werte richtig und zulässig. Ich hoffe es war halbwegs verständlich.

Kommentar von MaxKurse ,

Danke das du dir die ganze arbeit gemacht hast aber ich glaube nicht das wir das alles machen müssen

Kommentar von poseidon42 ,

Das einzige was du eigentlich hiervon behalten solltest:

a(1|2) =  (-v(0) +/-  v(1))/t 

Wobei t der Zeitraum der Änderung ist, a die Beschleunigung, v(0) die Geschwindigkeit am Anfang der Änderung, v(1) die Geschwindigkeit am Ende der Änderung.

Mehr musst du davon nicht verwenden.

Kommentar von Karl37 ,

Mein Gott, was wir da kompliziert gedacht.

Die Geschwindigkeit ändert sich in 30 Sekunden von 54 auf 27 km/h

(54 - 27) / 3,6 = 7,5 m/s

a = delta v / t ==> 7,5 / 30 = 0,25 m/s²

F = m • a  ==> 60E3 kg • 0,25 m/s² = 15'000 N

Kommentar von Ahzmandius ,

übrigens das stimmt so nicht. Und zwar betrachte mal folgendes:

Du hast v=a*t, wenn du für a die 0.75 einsetzt und für v=(54-27)/3,6 = 27/3,6

Dann kommst nicht umhin für die Zeit t 10 Sekunden einzusetzen. Nur mit der Beschleunigung von 0.25 kommst du auf die 30 Sekunden.

Kommentar von poseidon42 ,

Da gebe ich dir recht, der letzte Part war mein Fehler.

Antwort
von julianibus, 47

Benötigte Beschleunigung: aus delta_v = a * delta_t berechnen, anschließend Bremskraft mit F = m*a bestimmen. :)

Kommentar von MaxKurse ,

Ja was ist dann das ergebnis. Ist F=1620 richtig oder hab ich was falsches gemacht

Kommentar von Wechselfreund ,

Ich hab 15000N raus...

Kommentar von MaxKurse ,

Wie hast du es gemacht kann sehr gut sein das ich einen fehler gemacht hab

Kommentar von Wechselfreund ,

Genau wie in der Antwort oben beschrieben (km/h in m/s und t in kg umwandeln!)

Kommentar von MaxKurse ,

Wie jetzt?

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