Satz des Pythagoras, spitzwinkliges Dreieck berechenen! Brauche Hilfe, danke :)
Moin,
ich versuche gerade zu verstehen, wie man mit dem Satz des Pythagoras ein spitzwinkliges Dreieck berechnet!
Die Formel lautet ja: a²+b²>c²
Bei Rechtwinkligen Dreiecken ist das ja einfach, aber ich checke es nicht, wie man es bei spitzwinkligen macht, warum auch immer^^
Habt ihr ne Idee?
Eine Besipielsrechnung könnt ihr ja als veranschaulichung nehmen: a = 12 cm b= 10 cm c = ?
Danke, L.G.
7 Antworten
Es gibt prinzipiell zwei Möglichkeiten: Die erste Möglichkeit wäre unter Zuhilfenahme der Winkel und dann bspw. dem Kosinussatz usw. Das habt ihr alles aber vermutlich noch nicht. In diesem Fall muss man versuchen, das Dreieck geschickt aufzuteilen, sodass zwei rechtwinklige Dreiecke entstehen. Und dann muss man den Pythagoras zweimal anwenden. Bei deiner Aufgabe zieht man am Besten eine zusätzliche Linie, die senkrecht zur 12cm-Linie verläuft und durch das untere linke Eck (bei der 6 cm-Linie) läuft. Jetzt muss man sich überlegen, wie diese neue Linie (nennen wir sie h) die 12cm-Linie unterteilt: Die Figur ist achsensymmetrisch, das hilft hier: Wenn man die Achse einzieht (also parallel zur Linie h in der Mitte der Figur), dann werden die 6cm- und die 12cm-Linie genau halbiert. Das heißt: Die Hälfte der 12cm-Linie ist so lang wie die Hälfte der 6cm-Linie plus einen "überstand"--> Dieser Überstand muss 3 cam sein. Damit teilt die Linie h die 12cm-Linie in 3cm (nach links) und 9cm (nach rechts). Damit hat man nun zwei rechtwinklige Dreiecke: Die Länge von h kann man nun mit dem Pythagoras aus der 10cm- und der 3cm-Linie berechnen, Dann berechnet man s wieder mit dem Pythagoras aus h un der 9cm-Linie. Am Ende erhält man s=13,1 cm
Hallo Hannover,
Die Aufgabe läst sich mit Pythagoras lösen, wenn man zwei neue, rechtwinklige Dreiecke einführt:
Und zwar ist das ja ein symmetrisches Trapez! Wenn man von der Ecke, in der S auf die 6 cm-Seite trifft eine Senkrechte zur Grundlinie 12cm zieht, entstehen zwei neue, rechtwinklige Dreiecke, damti lässt sich dass dann ausrechnen! Mit dem einen Dreieck kann man den Abstand zwischen den beiden Grundlinien 6cm und 12 cm berechnen:
10²=3²+h²
Damit ist h= Wurzel (10²-3²)
und damit s²=9²+h² ODER s=Wurzel(9²+10²-3²) einfach eintippen, fertig!
Brauchst Du noch ein Bild, damit Du Dir das vorstellen kannst?
Es gibt noch eine weitere Möglichkeit.
zeichne a als horizontale Linie und beschrifte das linke Ende mit B und das rechte mit C
setzte an C einen Zirkel an mit r = b = 10 cm und zeichne einen Teilkreis der zur linken knapp über a beginnt und zur rechten knapp über einer gedachten Verlängerung von a endet
zeichne von B ausgehend eine Linie, die an einem beliebigen Punkt des Teilkreises endet. Das ist c.
zeichne von C ausgehend eine Linie zum Schnittpunkt von c mit dem Teilkreis. Das ist b.
beschrifte das Dreieck vollständig mit allen Seiten, Ecken und Winkeln und messe alle Winkel und c.
Wenn Du jetzt die letzten drei Punkte mehrfach wiederholst, wirst Du feststellen, daß c nicht ≤ 6,63 cm und nicht ≥ 15,62 cm sein darf, wenn Du ein spitzwinkliges Dreieck erhalten möchtest. Ist c ≤ 6,63 cm, so ist α ≥ 90°. Ist c ≥ 15,62 cm, so ist γ ≥ 90°.
Ja, schön, nur hast Du die handgeschriebene Länge von 10 cm übersehen. Solche Fehler passiren in Lehrbüchern und Lehrer haben oft das Problem das selber zu überreisen, dass das Ganze dann nicht mehr zu rechnen ist. Mit der Angabe 10 cm (handgeschrieben) wird das Trapez aber symmetrisch und ist dann leicht berechenbar.
In der gestellten Frage steht nichts von einem Trapez und einer handgeschiebenen 10.
Pythagoras nur für rechtwinklige Dreiecke !
Bei Deiner Beispielrechnung braucht man noch den Winkel γ. Dann kann man die Höhe a - A konstruieren, wobei die Seite a in a' und a'' geteilt wird. Du kanst auch die Höhe b - B konstruieren, wobei die Seite a in b' und b'' geteilt wird. jetzt kannst Du den Satz des Pythagoras anwenden, um die Länge von c zu berechnen. Du kannst die Länge von c aber auch direkt mit dem Kosinussatz, der für alle Dreiecke gilt, berechnen.
c² = a² + b² - 2a * b * cosγ
Der folgende Link könnte Dir helfen.
Warum das da nun 3mal auftaucht ist mir auch ein Rätsel^^
Die letzten beiden Beispiele im Link sind für Dich von Interesse.
ICH brauche ein Bild! Denn ohne die Kenntnis über die Dimension wenigstens eines Winkels kann die Seite c jede beliebige Länge zwischen 6,63 cm und 15,62 cm haben. Bei ≤ 6,63 cm und ≥ 15,62 cm erhält man kein spitzwinkliges Dreieck mehr.