Frage von St3ff4n4y, 43

Rüchkführung auf Spitze Winkel ohne TR?

Hay Ich muss als Hausaufgabe zB sin(120grad) auf den Wert der Spitzen Winkel zurückführen, und zwar ohne TR. Kann da jemand helfen?

Antwort
von FuHuFu, 19

Ganz allgemein kannst Du für sin und cos den Winkel auf spitze Winkel wie folgt zurückführen:

Ist der Winkel > 360 Grad, dann ziehst Du so oft 360 Grad ab, bis der Winkel kleiner als 360 Grad ist. Ist der Winkel < 0 Grad, dann addierst Du so oft 360 Grad, bis der Winkel größer als 0 Grad ist.

In Formeln:
sin ( α + k 360° ) = sin α                              k  ∈ Z
cos ( α + k 360° ) = cos α                            k  ∈ Z

Der Winkel liegt nach dieser Reduktion auf alle Fälle zwischen 0° und 360°

Falls der Winkel grösser als 180° ist, kannst Du ihn mit folgenden Formeln auf einen Winkel  zwischen 0° und 180° zurückführen.

sin ( 180°  + α  ) = - sin α
cos ( 180°  + α ) = cos α  

Jetzt hast einen Winkel zwischen 0° und 180°. Wenn der Winkel jetzt grösser als 90° ist kannst Du das mit einer weiteren Umformung auf einen Winkel zwischen 0° und 90° zurückführen

sin ( 180°  - α  ) =  sin α
cos ( 180° - α ) = - cos α  

Jetzt handelt es sich um einen spitzen Winkel (zwischen 0° und 90°).
Du kannst sogar noch weiter gehen und das ganze auf einen Winkel 
zwischen 0° und 45° zurückführen. Dabei wandelt sich aber der sin in einen cos um und umgekehrt. Die Formeln dafür lauten:

sin ( 90°  - α  ) =  cos α
cos (90° - α ) =  cos α  

Antwort
von rspeth, 23

Am Einfachsten malst du dir mal eine Sinuskurve auf: bei Null ist sie Null, bei 90 Grad ist sie Eins, bei 180 Grad wieder Null, bei 270 Grad -1 und bei 360 Grad Null.

Deine 120 Grad liegen also auf dem absteigenden Ast im positiven Bereich. Denselben Wert findest du auch im aufsteigenden Ast, nämlich im gleichen Abstand zur 90 Grad-Marke (Spiegelachse).

Also: sin 120 = sin 60

Wenn bei deinen weiteren Bespielen der Wert im Negativen liegt, setze ein negatives Vorzeichen:

sin 240 = sin 300 = - sin 120 = - sin 60

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 15

Das stellt man sich am Einheiskreis vor.

sin ß  = sin (90° + ß)              y identisch
cos ß = -cos (180° - ß)          x entgegengesetzt, Betrag gleich

Antwort
von Blas4me, 23

Stichwort Einheitskreis.

Da lassen sich leicht die Werte ableiten

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