Frage von Allzweckfrage, 55

Rotierendes Bezugssystem Aufgabe?

Wir betrachten Albert mit der Masse m, welcher zur Zeit t=0 ruht und den Abstand r_0 von der Drehachse hat. Albert sei in seine Bewegung so eingeschränkt, dasser sich nur radial frei bewegen kann, während er gezwugen wird mit der Winkelgeschwindigkeit w zu rotieren.

a) Berechnen sie seine Bahn im ruhenden und im rotierenden Bezugssytem

b) Für t>0 die kinetische Energie von Albert.

a) Keine Ahnung

b) Hier müsste die kinetische Energie der Rotation gemeint sein?

E=1/2Iw^2 oder die kinetische Energie der Translation E=1/2mv^2

Hat jemand eine Idee wie ich die Aufgabe geknackt bekomme?

Expertenantwort
von stekum, Community-Experte für Mathematik & Physik, 9

@ Iks

Hervorragend gelöst, großes Lob! Nach den pipileichten Aufgaben

der letzten Tage hatte ich nicht gedacht, dass diese so tückisch ist.

Natürlich folgt aus der Dgl r“ = ω²r und dem Ansatz r = ceᵏᵗ, dass k = ± ω .

Physikalisch bedeutet Deine Lösung, dass r(t) die Überlagerung

von 2 Drehungen mit gleicher Frequenz und gleichem Radius,

aber entgegengesetzter Drehrichtung ist.

Zu Deiner Anmerkung: Unsere Dgl war richtig,

aber der Lösungsansatz r₀eᵚᵗ nicht.  -   Zur kin. Energie:

Die Radialgeschw. ist vᵣ = ½r₀ωeᵚᵗ ‒ ½r₀ωe⁻ᵚᵗ = v₁ ‒ v₂

und die Tangentialgeschw. v₀ = ωr = ½r₀ω(eᵚᵗ + e⁻ᵚᵗ) = v₁ + v₂

Für die gesamte Energie ergibt sich dann mv₁² + mv₂²,

also die doppelte Summe der radialen Energien

der Links- und Rechtsdrehung (wieso eigentlich?).

Expertenantwort
von stekum, Community-Experte für Mathematik & Physik, 36

In radialer Richtung gilt ma = F = mω²r → ω²r = a = r“ (r‘ statt ṙ benutzt) .

Lösung r(t) = r₀eᵚᵗ.  Das ist die Bew.gl. im rotierenden System.

Im ruhenden System kommt noch 𝜑 = ωt dazu (Polarkoordinaten).

Radialgeschw. ist vᵣ = ωr und Energie ½mvᵣ² = ½mω²r²

Bahngeschw. (Tangentialgeschw.) ist v₀ = ωr= vᵣ ,

also gleiche Energie, daher Gesamtenergie m ω² r² = m ω² r₀² e²ᵚᵗ.

Kommentar von Allzweckfrage ,

Hallo stekum,

wie kommst du denn auf die Bewegungsgleichung um ruhenden System?

Wie kommst du auf r(t)=r_0e^(wt)? Ist die Lösung geraten oder wie? ich meine a=w^2r also d^2r/dt^2=w^2r und wie löst du diese DGL nun?

zu der Energie: Wie kommst du darauf das nur die Radialgeschwindigkeit betrachtet wird?

Kannst du dazu noch etwas genauer werden?

Danke!

Kommentar von stekum ,

Die Dgl y‘‘ = y hat natürlich die Lösung y = c eˣ.

Für die Dgl y“ = ω²y macht man den Ansatz y = c eᵏˣ

und findet k = ω . Die Dgl r“ = ω²r hat also die Lösung r = c eᵚᵗ.

Für t = 0 soll r = r₀ sein, daher c = r₀ und r = r₀ eᵚᵗ ist die Bew.gl.

in r-Richtung.

Im ruhenden System rotiert Albert mit der konstanten Winkelgeschw. ω ,

also ist seine 𝜑-Koordinate 𝜑 = ω t

Die Geschw. in r-Richtung ist v = r‘ = ω r und die Bahngeschw.

senkrecht dazu ist auch ω r . Da die Geschwindigkeiten gleich sind,

sind es auch die kin. Energien, und die Summe der beiden ist mv².

Kommentar von lks72 ,

@Stekum

Beim Durchsehen deiner Antwort und deines Kommentars (die sich von meinen ein bisschen unterscheiden) ist mir aufgefallen, dass deine UND meine Lösung wohl falsch sind. Aus dem rotierenden Bezugssystem gibt es für die Differentialgleichung nämlich zwei Randbedingungen, r(0) = r0 und v(r=r0) = 0, daher kann die Lösung

r = c * e^(ω * t) auf gar keinen Fall richtig sein. Die vollständige Lösung lautet in diesem Fall

r = c1 * e^(ω * t) + c2 * e^(-ω * t).

Nun ist r(0) = c1 + c2 = r0 und

v(0) = c1 * ω - c2 * ω = 0, also c1 = c2

und damit c1 = c2 = r0/2.

=> r(t) = r0/2 * (e^(ω * t) + e^(-ω * t)).

=> v(t) = r0/2 * ω * (e^(ω * t) - e^(-ω * t))

=> a(t) = r0/2 * ω^2 * (e^(ω * t) + e^(-ω * t))

Diese Funktionen erfüllen a = ω^2 * r und die beiden Randbedingungen r(0) = r0 und v(0) = 0.

So, und jetzt können wir nochmal rechnen :-)

Kommentar von lks72 ,

Noch eine Anmerkung: Meine (und deine) Diffefrentialgleichung waren zwar falsch, dies ändert aber an meiner  Energieberechnung nichts (sie geht von r aus, nicht von t), trotzdem hast du in deiner Rechnung vergessen, dass bei r = r0 die kinetische Energie (aus dem rotierenden Bezugssystem) 0 ist, da der Körper zunächst ruht. Die kinetische Energie aus dem rotierenden Bezugssystem ist daher Ekin = 1/2 * m * ω² * (r² - r0²).


Und aus dem ruhenden Bezugssystem ist demnach auch


Ekin = 1/2 * m * v² + 1/2 * m * ω² * (r² - r0²)


=> Ekin = 1/2 * m * ω² * r² + 1/2 * m * ω² * (r² - r0²)


=> Ekin = 1/2 * m * ω² * (2r² - r0²)


(Für t=0 ist r = r0 und damit Ekin = 1/2 * m * ω² * r0^2.)


Antwort
von lks72, 55

Was ist denn mit der radialen Bewegung? Gibt es da Reibung, ist sie völlig frei. In welcher Art und Weiße rotiert denn das System? Das müsste man alles wissen.

Kommentar von lks72 ,

Weise soll das heißen, blödes Handy

Kommentar von Allzweckfrage ,

Die Reibung soll ignoriert werden und die Masse als Punktmasse betrachtet werden. Mehr Infos sind nicht gegeben.

Kommentar von lks72 ,

Und die Winkelgeschwindigkeit ist dann mit w immer konstant?

Kommentar von Allzweckfrage ,

Also in der Aufgabe steht das Albert mit der Winkelgeschwindigkeit w rotiert. Ich denke mal w ist dann konstant.

Kommentar von lks72 ,

Aus dem rotierenden Bezugssystem wirken zwei Kräfte, Coriolis- und Zentrifugalkraft, da erstere senkrecht zu den Schienen steht und es keine Reibung gibt, interessiert sie nicht. die Zentrifugalkraft ist damit die resultierende Kraft und damit hat man die Impulsbilanz m • a = w^2 • r. Diese Differentialgleichung lässt sich leicht lösen und damit ist die Aufgabe erledigt. Kommst du damit zurecht?

Kommentar von Joochen ,

'm • a = w^2 • r.' 

Fehlt da nicht eine Masse?

Kommentar von lks72 ,

Äh, ja, natürlich muss rechts auch ein m hin, oder links das dann weg, wie man will. Danke für den Hinweis :-)

Kommentar von Allzweckfrage ,

Ja, das Corioliskraft und Zentrifugalkraft wirken dachte ich mir schon. Was meinst du denn mit "Da Corioliskraft senkrecht zu den Schienen steht"?

Es gilt dann a=r*w^2 und das ist im rotierenden System?

Dann erhalte ich s(t)=1/2 r*w^2*t^2+c_1t+c_2   Stimmt das?

Wie bestimme ich denn die andere Bahn?

Kommentar von lks72 ,

Die Schienen sollen verhindern, dass Albert sich seitlich bewegt, wie auf einem Zug nach außen.

Nein, die Lösung dieser Differentialgleichung lautet r(t) = r0 * e^(w * t). Dies siehst, du wenn du ableitest,

v(t) = w * r0 * e(w * t) und

a(t) = w^2 * r0 * e^(w * t), also wirklich a = w^2 * r.

Die Bewegungsbahn im nichtrotierenden System ist kompliziert, es ist eine nach außen drehende Spirale (weiß jetzt auf Anhieb auch nicht, wie das geht).

Die Energie, welche Albert hinzugewinnt, ist E = integral(F dr)

=> E = integral(m * w^2  *r , dr) = 1/2 * m * w^2 * r^2 (von 0 angefangen jetzt mal).

Wo kommt diese Energie her? Sie kann nicht aus den Schienen stammen (aus dem rotierenden Bezugssystem gesehen), denn deren Kraft wirkt senkrecht auf Alberts Bewegung. Sie stammt aus dem Trägheitsfeld, weil Albert im Feld nach außen fällt, genauso, wie wenn man im Gravitationsfeld nach unten fällt. (Die Energie aus diesem Trägheitsfeld muss dem Feld aber selbstverständlich nachgeliefert werden, mit anderen Worten, macht man nichts, dann wird die Drehbewegung gebremst.

Nun das Bezugssystem von außen:

Hier hat Albert im Abstand r die kinetische Enerige E = 1/2 * m * v^2. Wo stammt diese Energie her? Sie kommt nun wirklich aus den Schienen, denn v steht senkrecht auf der Bewegung der Schienen, hier ist die treibende Kraft also eine Oberflächen, und keine Feldkraft.

Kann so etwas überhaupt sein? Ja, eigentlich ist das nichts besonderes, denn Energien und Energieströme sind, wie man seit 1905 weiß, ja ohnehin Bezugssystemabhängig. Im Gegenteil, es ist sogar erstaunlich, dass beide Energien oben den gleichen Wert haben, obwohl es unterschiedliche Bezugssysteme sind. Die Lösung ist, dass beides die Energiemenge ist, um den Körper an den Abstand r zu bringen, und hier ist jedesmal die gleiche Energiemenge nötig.

Kommentar von lks72 ,

Meine Energieberechnung ist totaler Murks. Ich mache das heute abend (habe jetzt keine Zeit) noch einmal neu und vor allem ordentlich und vollständig :-)

Kommentar von lks72 ,

So, jetzt die Energieberechnung noch mal richtig:

Bezugssystem rotierend:

Die Energiezufuhr ist

delta E = integral(F , dr) = 1/2 * m * w^2 * (r^2 - r0^2) (Wenn man bei r0 in Ruhe anfängt.

Da die Energie am Anfang 0 ist, ist dies auch die Gesamtenergie, also E = delta E

Bezugssystem ruhend:

Wenn der Körper im Abstand r rotiert, hat er eine Geschwindigkeit v durch die Rotation und eine radiale Geschwindigkeit vr nach außen (dieses vr ist wie im rotierenden Bezugssystem, v gibt es da nicht), die Gesamtenergiemenge ist demnach

E = 1/2 * m * v^2 + 1/2 * m * vr^2.

Nun ist v = w * r und vr = w * (r-r0), also hat man

E = 1/2 * m * w^2 * (r^2 + r^2 - r0^2) = 1/2 * m * w^2 * (2r^2 - r0^2).

Der Körper hat am Anfang im Abstand r0 aber schon kinetische Energie, nämlich 1/2 * m * v0^2 = 1/2 * m * w^2 * r0, die Energiezufuhr ist demnach

delta E = 1/2 * m * w^2 * (2 * r^2 - r0^2 - r0^2)

=> delta E = 2 * 1/2 * m * w^2 * (r^2 - r0^2).

Die Energiezufuhr ist aus dem ruhenden Bezugssystem heraus also doppelt so hoch wie aus dem rotierenden Bezugssystem heraus.

Hier ergibt sich ein scheinbarer Widerspruch, angenommen, die Energie kommt durch einen Motor, welcher den Kreisel dreht, dann muss diese Energiemenge des Motors doch gleich sein, egal aus welchem Bezugssystem. Nun, hier muss man aufpassen, denn der Motor ist im ruhenden Bezugssystem.

Die Rechnung aus dem ruhenden Bezugssystem ist also auf jeden Fall korrekt.

Die Rechnung aus dem rotierenden Bezugssystem ist eigentlich auch richtig, aber man rechnet nur die Energie aus, die der Körper im rotierenden Bezugssystem dazugewinnt und klammert damit das rotierende System selbst aus der Betrachtung aus, es ist sozusagen ein externer Körper wie auf der Erde das Gravitationsfeld. Will man aber die komplette Energiebilantz berücksichtigen, dann muss man bedenken, dass das rotierendende Bezugssystem ebenfalls mit Energie versorgt werden muss, damit es nicht langsamer wird, dies ist der zweite Teil der Rechnung. Perfekt ausrechnen könnte man es, wenn man Impuls und Drehimpuls mit rein nimmt. Der zusätzliche Drehimpuls des nach außen driftenden Körpers stammt eben nicht aus dem Kreisel, sondern von außen, eine komplette Energiebilanz mit P = w * M muss dies daher berücksichtigen, die naive Rechnung aus dem Bezugssystem rotierend kann also nicht direkt richtig sein, weil der Drehimpuls für Albert letztendlich nicht aus diesem System stammt.

Kommentar von Allzweckfrage ,

Wie kommst du denn im ruhenden System auf die Lösung der DGL?Es gilt doch a=rw^2 und damit d^2x/dt^2=rw^2 und das wird 2 mal integriert. Wie kommst du dabei auf deine Lösung? An das rotierende System setze ich mich dann morgen :)

Kommentar von lks72 ,

Es ist die Lösung im rotierenden System, und du kannst das nicht einfach zweimal integrieren, auf der linken Seite hast du a(t), auf der rechten r(t), dies ist ja keine Konstante, es heißt korrekt d^2r/dt = r •w^2, und dies ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, in der r(t) und die zweite Ableitung von r vorkommt

Kommentar von Allzweckfrage ,

Wie löse ich denn diese DGL wenn nicht stupide integriert werden darf?

d^2r(t)/dt^2=w^2r(t) dann ist r(t) der Ortsvektor.

Kommentar von lks72 ,

a = w^2 * r.

Es ist also eine Gleichung, bei der die zweite Ableitung a genauso groß ist wie die Funktion r selbst, also wäre das

r = e^t, denn hier wäre v = r' = e^t und a = e^t.

Nun ist aber noch das w^2 im Spiel, dies wird in die innere Funktion eingesetzt, also

r = e^(w * t), damit v = r' = w * e^(w * t) und nochmal

a = v' = w^2 * e^(w * t) => a = w^2 * r.

Nun kommt noch eine Konstante hinzu, hier wäre nämlich r(0) = e^0 = 1, es muss aber r0 rauskommen, also einfach

r(t) = r0 * e^(w * t).

(Wohlgemerkt: Dies ist alles aus der Sicht des rotierenden Bezugssystems)

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