Frage von Tessaha, 47

Relativitätstheorie - Zeit berechnen?

Man soll berechnen, wie lange das Raumschiff für einen Beobachter auf der Erde unterwegs war und um wie viele Jahre der Astronaut langsamer gealtert ist als die Bewohner der Erde.

Die Reisegeschwindigkeit beträgt 95%, und der Stern ist 4,34 Lj von der Erde entfernt.

Das Raumschiff fliegt einmal hin und dann wieder zur Erde zurück. Wie muss ich rechnen?

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 8

Am besten alles erst mal in Formelzeichen: Die Lichtgeschwindigkeit wird üblicherweise mit c bezeichnet, die Geschwindigkeit mit v⃑ (wie engl. velocity; der Pfeil bedeutet, dass es eine Vektorgröße ist, eine Größe mit Richtung).

Hier betrachten wir nur die Bewegungsrichtung, die wir x-Richtung nennen. Für die Geschwindigkeit genügt die Komponente v.x =: v.

Die Entfernung von unserem zum fremden Sonnensystem (der Entfernung nach kann das nur  das α-Centauri-System sein) nennen wir Δx, die noch unbekannte Zeit, die der Astronaut nach irdischer Uhr für die Strecke braucht, heißt Δt. 

Da v als konstant gedacht wird, darf man

(1) v = Δx/Δt ⇔ Δt = Δx/v

rechnen, heraus kommen 4,34Lj/0,95c ≈ 4,57a, also 4 Jahre und knapp 7 Monate.

Um herauszufinden, wie lange der Astronaut nach eigener Uhr braucht, muss man berücksichtigen, dass diese um den Lorentz-Faktor

(2) γ := 1/√{1 – (v/c)²},

in diesem Falle etwa 3,2, langsamer geht. 

Das lässt sich wiederum durch das sogenannte Lichtuhr-Gedankenexperiment mit einem Lichtsignal in y- Richtung (jedenfalls quer zur Bewegungsrichtung) aus der Forderung herleiten, dass die Lichtgeschwindigkeit sowohl in einem erdgebundenen Koordinatensystem K (in dem wir bisher gerechnet haben) als auch in einem mitbewegten Koordinatensystem K' den Betrag c hat.

Daher ist die Zeit, die er laut Borduhr braucht, nur

(3) Δt' = Δt/γ = Δx/γv ≈ 1,43a.

Auf dasselbe Ergebnis kommt man, wenn man die Lorentz-Transformation

(4.1) Δt' = γ(Δt – v·Δx/c²)

anwendet, da

(4.2)  γ(Δt – v·Δx/c²) = γ(Δx/v – v·Δx/c²)
                                 = (γΔx/v)(1 – v²/c²)
                                 = γΔx/γ²v
                                 = Δx/γv

ist. Eine weitere Möglichkeit, das auszurechnen, ist die Eigenzeit 

(5) Δτ := √{(Δt)² – (Δx/c)²} ≡ √{(Δt')² – (Δx'/c)²}
           = √{(Δx/v)² – (Δx/c)²}
           = Δx√{1/v² – 1/c²}
           = (Δx/cv)√{c² – v²}
           = (Δx/v)√{1² – v²/c²}
           = (Δx/v)/γ
           = Δt'
⇒ Δx' = 0.

Im Raumschiff-System betrachtet befinden sich Start- und Zielort am selben Ort. Ist ja auch klar: Auf das Raumschiff während der Reise bezogen entfernt sich die Erde und nähert sich das α-Centauri-System, jeweils mit –v.

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In diesem speziellen Fall sind die in (4) und (5) aufgeführten Rechnungen viel komplizierter als die in (3), aber man sollte sie kennen. Es geht dabei weniger um die Rechnerei als um das geometrische Verständnis der Relativitätstheorie. Die Eigenzeit ist beispielsweise ebenso Lorentz-invariant, wie eine Entfernung zwischen zwei Punkten invariant unter Drehung des verwendeten Koordinatensystems ist.

Kommentar von keinfacebook ,

Danke ! Ich habe nur Sternbilder verstanden, aber immerhin.

Ich bin Astrologin; ich glaube auch nicht, ich rechne (nur anders).

Vielen herzlichen Dank, gerne mehr ! LG stefanie sophia

Kommentar von SlowPhil ,

Das einzige Sternbild, das ich erwähnt habe, ist Centaurus, denn dessen von der Erde aus hellste (am hellsten aussehende) Stern, eigentlich mindestens ein Dreifachsternsystem, ist 4,34 Lichtjahre von der Erde entfernt. Es ist das nächste fremde Sternensystem überhaupt. Schon der Sirius und dessen Sonnensystem (so er eines hat) ist knapp 9 Lichtjahre entfernt, mehr als doppelt so weit. Und selbst das ist noch wenig, verglichen mit anderen Sternenabständen.

Sternbilder erscheinen nur von der Erde aus zusammenhängend. Ihre Sterne können weiter voneinander entfernt sein als ihr nächster Stern von der Erde.

Antwort
von Mojoi, 30

Aus: https://www.hilfreiche-tools.de/physik/zeitdilatation-berechnen.html

"Mit folgender Formel wird die Zeitdilatation schnell berechnet: t=t die
Wurzel aus 1 minus v zum Quadrat geteilt durch v=c zum Quadrat."

Antwort
von grtgrt, 8

Du findest so ein Beispiel durchgerechnet auf Seite http://www.xn--relativittsprinzip-ttb.info/gedankenexperiment/zwillingsparadoxon... .

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