Frage von LBxRAIDER, 119

Relativitätstheorie: Massenzunahme und Geschwindigkeitszunahme?

Ich lese ein Buch über die relativistische Geschwindigkeitsaddition von Kurt Fischer. Im Buch wird die Rechnung zur Massenzunahme und Geschwindigkeitszunahme erklärt. Die mathematische Rechnung habe ich nicht verstanden. Da ich ein Laie bin, ohne ein hohen Bildungsabschluss. Deswegen brauche eine leichte Iteration.

Stellen wir uns eine Box vor, die gegenüber den Erdboden mit Geschwindigkeit v bewegt. In der Box befinden sich interne Massen(zwei Bälle). Die Gesamtmasse steckt praktisch in den beiden Bällen, sodass wir nicht die Masse der Box berücktsichtigen müssen. In dieser Box befinden sich zwei Bälle, jeweils auf der linken und der rechten Seite. Jeder der Bälle bewegt sicht mit Geschwindigkeit u. Der Recht mit u. Der Linke mit -u. m0 bedeutet Ruhemasse.

Die Gleichung(Bild1) zeigt die Berechnung der beiden Massen. Stimmt das? Im Buch wird es genauso dargestellt, ohne ein Beispiel. Ich weiß nicht, wie ich es praktisch anwenden kann.

2) Ein Auto fällt mit einer bestimmten Geschwindigkeit auf den Erdboden. Mit dieser Gleichung kann man seine Masse berechnen(Bild2). M0/√1-v²:c²

Ich versteh nicht die praktische Applikation der Gleichung.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik & Physik, 18

Die Gleichung (Bild1) zeigt die Berechnung der beiden Massen. Stimmt das? 

Nein, die Rechnung muss einen Fehler enthalten, denn

m₀(1 + u·v)/√{(1–u²)(1–v²)} + m₀(1 + u·v)/√{(1–u²)(1–v²)}

- ich habe mir erlaubt, u und v in Einheiten von c anzugeben, sodass c=1 ist, und außerdem kann man die Wurzeln zu einer zusammenfassen -

ergibt meines Erachtens

2m₀(1 + u·v)/√{(1–u²)(1–v²)}

und nicht

2m₀/√{(1–u²)(1–v²)}.

Ich vermute mal, dass hier nicht berücksichtigt wurde, dass der eine Ball mit +u und der andere mit –u unterwegs ist, relativ zur Box, und es stattdessen

m₀(1 + u·v)/√{(1–u²)(1–v²)} + m₀(1 – u·v)/√{(1–u²)(1–v²)}

heißen muss. Da u im Zähler in erster Potenz auftritt, spielt das Vorzeichen eine Rolle. Allerdings ist das nur ein Schluss aus der obigen Überlegung. Selbst hergeleitet habe ich die Formel ja nicht. Aus Deinen Worten

Stellen wir uns eine Box vor, die gegenüber den Erdboden mit Geschwindigkeit v bewegt. … In dieser Box befinden sich zwei Bälle, jeweils auf der linken und der rechten Seite. Jeder der Bälle bewegt sich mit Geschwindigkeit u. Der Recht mit u. Der Linke mit -u.

geht leider auch nicht hervor, ob u längs oder quer zu verstehen ist. Ich vermute mal längs, weil Du nicht explizit hingeschrieben hast, dass das ein 2D-Szenario sein soll.

Es gibt aber noch einen anderen Grund dafür, anzunehmen, dass u und v kollinear sind: Es kommt etwas unterschiedliches heraus, je nachdem, ob man + oder – setzt, und für u = v und den Term mit dem Minuszeichen ist

 m₀(1 – u·v)/√{(1–u²)(1–v²)} = m₀(1–v²)/√{(1–v²)²} = m₀(1–v²)/(1–v²) = m₀

heraus, und das sollte auch so herauskommen, denn dann ist der anch hinten rollende Ball relativ zum Boden in Ruhe.

Die Formel soll motivieren, dass und warum sich »die Masse ändern« muss, wenn sich ein Körper bewegt.

G'scheiter ist es allerdings, das so zu formulieren, dass ein Körper der Eigenmasse m₀ (sage ich lieber als »Ruhemasse«) und der Geschwindigkeit v (zu verstehen als Komponente in 1D) selbst die Masse m₀ hat und noch seine kinetische Energie

m₀(γ – 1)c² 

mitschleppt. Dabei ist γ der Lorentz-Faktor

γ 

= 1/√{1–v²} = dt/dτ,

wobei τ die Eigenzeit des Körpers ist, d.h. die Zeit, die eine mitbewegte Uhr anzeigen würde.

Überhaupt bedeutet in der Relativitätstheorie eine Zeitableitung meistens eine Ableitung nach der Eigenzeit.

Der Impuls des obigen Körpers ist

p = m₀·γ·v,

und die Idee, dass sich die Masse verändere, beruht darauf, dass man dies als

p = (m₀·γ)·v = (m₀·γ)·dx/dt

auffasst. Moderner ist es allerdings, es als

p = m₀·(γ·v) = m₀·(γ·v) = m₀·dx/dτ

aufzufassen, also nicht mehr von Massenveränderlichkeit, sondern von der Masse m₀ und der Vierergeschwindigkeit (dt/dτ; dx/dτ) zu sprechen. 

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 54

Lese 

https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenz_von_Masse_und_Energie

und

https://de.wikipedia.org/wiki/Lorentzfaktor

Ursache ist immer ENERGIE!

Sobald man einem System Energie zuführt, wird wegen

E = m * c²

auch immer die Gesamtmasse größer! Der Lorenzfaktor zeigt mathematisch, um wieviel (also welchen Faktor) die Zunahme stattfindet.

Anders herum zeigt er aber auch, dass wegen des starken Anstiegs und der begrenzten Energie nie v=c werden kann.

Bis 25000 km/h ist der Einfluss so minimal -> kaum messbar!

Erst kurz vor der Lichtgeschwindigkeit steigt dieser Faktor jedoch so extrem an, dass man ihn bei zig praktischen Dingen immer berücksichtigen muss:

- radioaktive Teilchen leben bei hoher Geschwindigkeit länger aus Sicht des Beobachters

...

Kommentar von LBxRAIDER ,

Also steigt durch die Bewegung die Masse an. Den durch eine Art von Bewegungenergie wird der Körper ja bewegt. Das Äquivalenzprinzip: Masse und Energie ist äquivalent.

Für den Alltag hat es keinen Gebrauch. Wenn die Masse eines Objekts bei 25000 km/h relevant ansteigt.

Kommentar von karajan9 ,

Für den Alltag hat es tatsächlich keinen Gebrauch. Wenn du aber in die Elementarteilchephysik gehst brauchst du das dauernd, oder auch schon, wenn du mit Satelliten arbeitest. Es ist definitiv nicht ohne Auswirkung.

Kommentar von SlowPhil ,

Das Äquivalenzprinzip: Masse und Energie ist äquivalent.

Das trifft zwar zu, ist aber nicht das Äquivalenzprinzip. Dieses besagt, dass Beschleunigung einerseits und ein stationäres Verharren in einem Gravitationsfeld äquivalent sind.

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