Frage von Brudi8, 19

Relation R als Wochentag darstellen?

Hallo Zusammen Mich beschäftigt eine Frage meines Professors bezüglich Relationen und Funktionen, worauf ich leider keine Antwort finde und wende mich nun an euch in der Hoffnung, dass mir einer behilflich sein kann. :)

Mir ist eine Relation R gegeben, welche ein Datum mit einem Wochentag beschreibt. (Bsp: (2015-12-16, Mittwoch) ∈ R, weil der 16. Dezember ein Mittwoch ist.

Und nun, stellt sich mir die Frage, ob R überhaupt eine Funktion ist?! Und wie sieht es mit dem Inversen, R^-1, aus?

Wie gehe ich diese Aufgabe an? Welche Überlegungen macht ihr? Ich komme auf keine grünen Zweig. -.-

Danke für eure Hilfe!! Grüsse Brudi8

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 19

f: Datum → Wochentag ist eine Funktion. Auf einen Wert der Zielmenge darf öfter abgebildet werden. Denke mal an f(x) = x². Auf 1 wird durch x=-1 und x=+1 abgebildet werden.
Hinzu kommt, dass jedes Urbild ein (und nicht mehr) Bild hat.

Genau wie bei x² gibt es aber keine (eindeutige) Umkehrfunktion. 

Merke: Wenn bei einer Funktion auf nur einen Wert der Zielmenge mehr als einmal abgebildet wird, gibt es keine Umkehrfunktion.

f(x) = √ x ist nicht wirklich die Umkehrfunktion. Du bekommst nur das positive x, welches f(x) = x² löst.

Den selben Gedankengang kannst du auf deine Relation anwenden.

Kommentar von Brudi8 ,

Vielen Dank für diese verständliche Erklärung!! So lässt sich mein Problem überraschend schnell lösen!

Ein grosses Dankeschön auch an alle anderen Antwortschreiber. :)

Kommentar von Suboptimierer ,

Bitteschön!

Antwort
von Roderic, 10

Damit aus einer Relation R eine Funktion F wird, muss R zwei Kriterien erfüllen:

  1. Jedes Element aus der linken Menge von R muss mindestens einmal in R vertreten sein.
  2. Wenn ein Element aus der linken Menge von R mehrmals in R vorkommt, dann muss R dieses Element immer auf dasselbe Element der rechten Menge abbilden.

Deine Relation erfüllt diese beiden Kriterien - also ist dein R zugleich auch eine Funktion.

Zu jeder Relation kann man immer auch die Umkehrrelation bilden, indem man einfach die linke mit der rechten Menge vertauscht. Die Frage ist dann nur, ob diese Umkehrrelation dann ebenfalls die beiden obengenannten Kriterien erfüllt.

Tut sie das - dann ist R^-1 ebenfalls eine Funktion und F^-1 ist dann und nur dann auch die Umkehrfunktion von F.

In deinem Fall trifft das nicht zu. Das bedeutet, daß die Umkehrfunktion zu F nicht existiert.

Die Definitionen von Surjektivität und Injektivität verdeutlichen genau diesen Sachverhalt. Sie werden nur üblicherweise auf Relationen angewandt, von denen man bereits vorher annimmt, daß sie auch Funktionen sind. Aber prinzipiell kann man sie auch auf die den Funktionen zugrundeliegenden Relationen selber anwenden.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 15

Du hast immer eine Funktion, wenn es eine eindeutige Beziehung gibt.
y = x² ist so eine.
y = √x ist nicht eindeutig, wenn du dich nicht auf positive oder negative Lösungen beschränkst.
Relationen sind alle Beziehungen von jeweils zwei Objekten, aber
eine zumindest eindeutige Relation R heißt Funktion f.

Antwort
von dannyotti, 13

Ich weis auch nicht recht,

du könntest dir das Ganze aber mal als Mengen vorstellen. Also:

D = {Menge aller Daten}

F = {Montag, .. ,Sonntag}

|D| = unendlich

|F| = 7

jetzt steht jedes Element aus D in Relation zu F also d element D und f element F -> d R f

Das ganze ist Surjektiv, aber wie das jetzt weiter geht... KA

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