Frage von AngloNubi, 25

Rekursive Folge aufstellen o. Exponentielles Wachstum?

Hallo,

ich habe eine Frage zum aufstellen einer rekursiven Fole mit Exponenten. Wenn ich zum Anfangszeitpunkt a0 noch 0 Bakterien habe, zum Messzeitpunkt a1 jedoch 32000, zum Messzeitpunkt a2 = 48000, zum Zeitpunkt a3=56000 u.s.w habe ich ja ein Wachstum von (1/2)^n+1 des vorherigen Ergebnisses.

Also quasi a1 = 32000 (Rekursionsanfang) a2 = a1+1 = a1+ (a1/ 2) = 48000 a3= a2+1 = a2 + (a1/ 4) = 56000 ...

wie kann ich das nun geschickt als Folge at (t= Messzeitpunkt) in Abhängigkeit von at-1 ausdrücken? Ich steh da irgendwie auf dem Schlauch das elegant zu formulieren...

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 22

Feldvariablen schreibt man am besten mit eckigen Klammern:

a[i+2]=a[i+1]+a[1]/2^(i+1)

Syntax für JavaScript:

aC[i+2]=aC[i+1]+aC[1]/pow(2,i+1);

Aber Achtung: mit nur 3 Stützstellen gibt es unendlich viele mögliche Funktionen (egal ob rekursiv oder explizit)

Der Iterationsrechner zeigt hier mal 3 verschiedene:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch\_JAVA.htm#((x-9)*x+32)*x*4/3@Ni=0;aC=Array(0,32000);@N@Bi]=Fx(i)*1000;@Ci+2]=@Ci+1]+@C1]/@P2,i+1);aD[i]=max(0,round(21.97898516*log(i+0.001)+32.258))*1e3;@Ni%3E18@N0@N0@N#

(LINK endet mit N# )


Kommentar von hypergerd ,

Der LINK wurde leider wieder verunstaltet:

- wie auf dem Bild zu sehen ist bei Roemisch_Java kein \ 

enthalten

- im Bild muss es bei aD[... am Ende 1e3 und nicht 1e4 sein (0 zu viel)

Kommentar von AngloNubi ,

Hallo Gerd,

danke dafür. Es sieht alles sehr logisch aus, verwirrt mich (als jemanden, der nicht der Programmier-Sprache mächtig ist) aber auch etwas.

Meine Folge beinhaltet die Zahlen, die unter Folge aC[i] stehen. Die andern Folgen aB und aD verstehe ich in diesem Kontext nicht.

Allerdings konvergiert die Folge gegen 64000, wenn ich das richtig sehe, oder?

Kommentar von hypergerd ,

Die rekursive aC[...] Funktion kann auch explizit dargestellt werden:

aC[n]=64000-125*2^(9-n)

wo man den Grenzwert 64000 sofort sieht.

Für alle, die im Bild die primitiven Formeln nicht finden können, nochmals:

aB[x]=((x-9)*x+32)*x*4000/3 

aD[i]=max(0,round(21.97898516*log(i+0.001)+32.258))*1000

(die max-Funktion hebt einfach nur den 1. negativen Wert auf 0 an)

Bei Interesse könnte ich zig weitere Funktionen basteln, da keine Randbedingungen (wie wachsen die Bakterien) gegeben sind.

Normalerweise wachsen sie zunächst exponentiell ansteigend (meist pro Zyklus eine Verdopplung) und dann gegen einen Grenzwert (Sättigung).

Kommentar von hypergerd ,

Dieser LINK sollte nun funktionieren:

http://www.lamprechts.de/u?u=1

Antwort
von kdreis, 25

a(n) = a(1)(1 + 1/2 + 1/4 +...) = 320002

Kommentar von AngloNubi ,

Hallo!

Sollte eine Folge nicht als "Formel"  aufgestellt werden? "...." sind meines Wissens nach nicht zulässig, oder?

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