Rekonstruktion 3. Grades?

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4 Antworten

Die allgemeine Funktion 3. Grades sieht so aus: f(x)=ax³+bx²+cx+d

Wendestelle im Ursprung bedeutet: f''(0)=0 und f(0)=0
Tiefpunkt bei P(1|-2) bedeutet: f'(1)=0 und f(1)=-2

Damit sollten die 4 Unbekannten a,b,c und d rauszufinden sein.

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Du setzt erstmal ganz allgemein an f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. Dann musst du die Koeffizienten nacheinander berechnen. Also zuerst zum Wendepunkt. Wir leiten die  Funktion zweimal ab und erhalten f'(x)=3ax^2+2bx+c und f''(x)=6ax+2b. Bedingung für Wendepunkt in (0,0) ist f''(0)=0. Daraus erhältst du schon mal b=0. Zudem hat f zugleich eine Nullstelle im Punkt (0,0). Also erhältst du f(0)=0 und somit d=0. Also hast du f(x)=ax^3+cx. Nun ist f'(x)=3ax^2+c. Nun soll bei (1,-2) ein Tiefpunkt sein. Also muss f'(1)=0 gelten. Nun ist f'(1)=3a+c=0. Also ist 3a=-c. zugleich soll der Punkt (1,-2) auf dem Grafen der Funktion liegen. Also folgt f(1)=-2. Nun ist f(1)=a+c=-2. Also hast du zwei Gleichungen für a und c. Daraus folgt a=1 und c=-3. Damit ist deine Funktion bestimmt zu f(x)=x^3-3x. Nun ist noch zu zeigen, dass bei (1,-2) ein Tiefpunkt ist. Dies bekommt man aus der zweiten Ableitung. Es ist f''(x)=6x und somit f''(1)=6>0. Daher ist die zweite Ableitung am Extremum größer null und somit liegt dort ein Tiefpunkt vor. 

Gruß

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Funktion 3.ten Grades ist f(x)= a3*x^3+a2*x^2+a1*x+ao

Wendestelle bei xw=x=0 und f(0)=0 also ist schon mal ao=0

bleibt f(x)= a3*x^3+a2*x^2+a1 *x

f´(x)= 3 *a3*x^2+2*a2*x+a1 abgeleitet

f´´(x)= 6 *a3 *x + 2 *a2 hier ist die Wendestelle xw= 0 und f(x)=0

Hieraus ergeben sich 3 Gleichungen mit 3 Unbekannte a3,a2,a1

1. 1 *a3 +1*a2+1*a1= -2 ergibt sich aus den Minimum xmin=1 ymin=-2

2. 3 *a3 +2*a2+1*a1=0  ergibt sich aus der 1.ten Ableitung xmin= 1 y=0

3. 0 *a3 +2*a2+0*a1=0 ergibt sich aus der 2.ten Ableitung Wendestelle x=0

Dies ist ein "lineares Gleichungssystem" mit 3 Unbekannte und 3 Gleichungen.

Hab ich mit meinen Graphikrechner (Casio) gelöst

a3= 1 und a2=0 und a1 =- 3

Die Funktion lautet somit f(x)= 1 * x^3 - 3 * x

Minimum bei xmin=1 und ymin=-2

maximum bei xmax=- 1und ymax=2

nullstellen bei x1= - 1,732 und x2=0 und x3= 1,732 

TIPP : Besorge dir privat auch einen Graphikrechner (Casio),sonst

 kannst´e einpacken !

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wie ist dein Ansatz?

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