Reicht es bei einem Beweis ein Beispiel zu zeigen, falls dort steht "es existiert eine Abb. mit einer Eigenschaft..."?

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2 Antworten

Achtung Spoiler (wenn du es selbst lösen willst nicht weiterlesen:

Als Tipp:
Da X und Y Endlich sind, kannst du deren Einträge durchnummerieren,
Sei |X| = n und  |Y| =m mit n≤m
x1,x2,x3, ... ,xn
und
y1,y2,y3, ... yn,yn+1,..., ym

nun kannst du für => die Richtung einfach die Abbildung
x1->y1
x2->y2
...
xn->yn
definieren. Nun hast du EINE abb für ALLE Mengen X,Y mit |X| ≤ |Y|
die Rückrichtung ist genau so einfach
du Nummerierst wieder X durch mit:
x1,x2,x3, ... ,xn
Y hingegegen Nummerierst du nun anhand der Abb durch
sei:
y1:=f(x1)
...
yn:=f(xn)
da f injektiv ist yi ungleich yj für i ungleich j
oder auch: die y1, ... , yn sind Paarweise verschieden.
Damit hast du gezeigt das Y mindestens n Elemente enthält und somit
n≤|Y|
(als ganz kleinen Tipp) ;-)

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Kommentar von 96dominik712
09.11.2015, 22:28

Vielen Dank! Das hilft mir schon viel weiter :-) Den Schritt mit y_i und y_ j habe ich leider noch nicht ganz verstanden

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Nein, denn die Mengen X und Y sind ja nicht spezifiziert, also müsstest du für beliebige zwei Mengen X und Y ein Beispiel für eine passende Abbildung finden.

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Kommentar von 96dominik712
09.11.2015, 21:15

Ich hatte dann halt die Überlegung gehabt zu sagen, dass X = { x_1,...,x_n) und Y={y_1,...,y_n, y_n+1), damit |X| kleiner gleich |Y|. Da wäre ja auch schon erkennbar, dass eine injektive Abbildung existiert. Aber wie zeige ich das mathematisch korrekt? Ich zerbreche mir schon die ganze Zeit den Kopf bei dieser Aufgabe und komme auf keinen grünen Zweig.

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