Frage von Handynote21, 42

Realteil und Imaginärteil von i/(i+1)?

Hallo, kann mir bitte jemand erklären wie man auf die Lösung kommt. Ich weis das der Realteil 1/2 ist und der Imaginärteil ebenfalls 1/2 aber ich verstehe nicht wie man darauf kommt.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 21

Hallo,

wenn Du i/(1+i) berechnen willst, mußt Du zunächst das i aus dem Nenner wegbekommen.

Dazu gibt es den Trick mit den konjugiert komplexen Zahlen.

Wenn 1+i eine komplexe Zahl ist, ist 1-i die konjugiert komplexe Zahl dazu (Du drehst einfach nur das Rechenzeichen vor dem i um).

Wenn Du nun Zähler und Nenner mit 1-i erweiterst, passiert im Nenner etwas Interessantes:

(1+i)*(1-i) ist gemäß der 3. binomischen Formel 1-i²

i² ist aber laut Definition -1 und -(-1) ist 1. 1+1=2

Nun hast Du im Zähler i*(1-i) stehen und im Nenner nur noch eine 2.

Ausmultiplizieren des Zählers: i-i²=i+1

Der Nenner ist 2, also ist die Lösung (i+1)/2 oder 1/2+(1/2)i

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Halswirbelstrom ,

Sehr ausführliche Erklärung!

Kommentar von Willy1729 ,

Ich dachte mir, daß dies in diesem Fall vielleicht nötig sein könnte.

Außerdem mache ich mir die Materie so immer wieder selbst klar. Habe beruflich nichts mit Mathe zu tun, sondern mach es nur aus Spaß. Wenn ich anderen etwas erkläre, lerne ich selbst dazu, deshalb bin ich manchmal etwas weitschweifig.

Kommentar von Halswirbelstrom ,

Insofern haben wir beide die gleichen Wurzeln.

Gruß, H.

Kommentar von Handynote21 ,

Danke für die Erklärung hat mir sehr weitergeholfen.
Echt nett! :)

Kommentar von Willy1729 ,

Gern geschehen. Komplexe Zahlen sind irgendwie lustig.

Antwort
von Halswirbelstrom, 20

i / ( i+1) = i / ( i+1) · (- i +1)/(- i+1) = i²+i / (- i²+1) = -1+i / (1+1)

→    - ½ + i ·½

Gruß, H.

Kommentar von Handynote21 ,

Danke auch eine gute Antwort, hat mir auch geholfen. Super :)

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