Frage von Sonnenblume282, 60

Real- und Imaginärteil von z=(5/2 + i*(5/2))^10?

Ich soll den Real- und Imaginärteil der obenstehenden Aufgabe bestimmen, allerdings ist mir bisher nur bekannt wie ich das bei Aufgaben der Form z=re^(iphi) machen kann. Kann mir jemand erklären wie das bei Aufgaben der obigen Art zu machen ist? Vielen Dank:)

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 60

z = (5/2 + i * 5/2)^10 = (5/2)^10 (1+i)^10

Wir suchen für

w = 1+i

eine Darstellung

w = re^(i * phi) = r (cos(phi) + i * sin(phi))

cos(phi) = sin(phi) ist für phi = 1/4 pi erfüllt. Wegen

cos(1/4 pi) = sin(1/4 pi) = 1/2 Wurzel(2) ergibt sich

1+i = r (1/2 Wurzel(2) + i * 1/2 Wurzel(2)),

dann muss r = Wurzel(2) sein. Mit

w = Wurzel(2) e^(i * 1/4 pi) erhält man dann

z = (5/2)^10 (w)^10 =

(5/2)^10 (Wurzel(2) e^(i * 1/4 pi))^10 =

(5/2)^10 (Wurzel(2))^10 e(i * 1/4 * 10 * pi) =

(5/2)^10 * 2^5 e^(i * 5/2 pi) =

5^10 / 2^5 ( cos(5/2 pi) + i sin(5/2 pi) ) =

5^10 / 2^5 ( 0 + i * 1 ) =

5^10 / 2^5 * i,

also sind Real- und Imaginärteil gegeben durch

Re(z) = 0 und Im(z) = 5^10 / 2^5 = 9765625 / 32.

Antwort
von ProfFrink, 48

Hallo Sonnenblume282,

hier gibt es zwei Möglichkeiten. Diese Aufgabe ist so gestrickt, dass man sogar auf die Polarkoordinatendarstellung der komplexen Zahl verzichten könnte. Das liegt daran, dass der komplexe Zeiger gerade einen Sonderfall in seiner Richtungslage einnimmt, nämlich 45°.

Einfaches Quadrieren

(5/2 + i5/2) = 25/4 - 25/4 +2*25/4i = 25/2i

 führt schon zu dem Ergebnis z^2= 25/2*i

Nochmaliges Quadrieren z^4 = -625/4   weil i*i=-1

Nochmaliges Quadrieren z^8 = +390625/16

Und z^8 * z^2 = z^10 = 9765625/32*i

Natürlich kann man das auch mit Polarkoordinaten rechnen :

r=Wurzel[25+25)/4]         phi=45°

r^10 = (50/4)^5 = (25/2)^5=9765625/32

10*45°=450°      450° - 360° = 90°   Zeiger steht auf i

z^10 = 9765625/32*i

Kommentar von Sonnenblume282 ,

Also den ersten Teil kann ich vollkommen nachvollziehen, aber wie kommt man dann auf r und phi?

Kommentar von ProfFrink ,

r ist der Betrag der komplexen Zahl, also die Länge des Zeigers der komplexen Zahl. Wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.

r = Wurzel (Realteil*Realteil + Imaginärteil*Imaginärteil)

r = Wurzel [(5/2)^2 +(5/2)^2]

r = Wurzel [25/4 +25/4] = Wurzel [50/4]

Der Winkel phi ist die Richtung des komplexen Zeigers in der komplexen Ebenen. Da der Realteil "zufällig" genau so lang ist wie der Imaginärteil zeigt der Zeiger schräg nach oben in den ersten Quadranten. Sein Winkel zur Realteilachse (normalerweise x-Achse) beträgt dann 45° oder in pi/4 Radiant, wenn man in Bogenmass rechnen will.

Kommentar von Sonnenblume282 ,

so wie du es jetzt darstellst, wäre doch der Real- sowie der Imaginärteil = 5/2 !?

Kommentar von ProfFrink ,

Ja, natürlich. Von der Aufgabenstellung ist in diesem speziellen Fall der Realteil genau so groß wie der Imaginärteil. Das ist das spezielle dieser Aufgabe. - Im allgemeinen können Realteil und Imaginärteil völlig beliebig sein. Jeder Punkt in der unendlich großen komplexen Ebene muss erreicht werden können.

Antwort
von iokii, 54

Schau dir den Binomischen Lehrsatz an und dann einfach rechnen.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 26

z = 305175.78125 * i

http://de.numberempire.com/complexnumberscalculator.php

Kommentar von DepravedGirl ,

Verallgemeinerte Form -->

z = (a + b * i) ^ n

z = i*(a^2+b^2)^(n/2)*sin(atan2(b,a)*n)+(a^2+b^2)^(n/2)*cos(atan2(b,a)*n)

Du brauchst also die atan2 - Funktion !!

https://de.wikipedia.org/wiki/Arkustangens_und_Arkuskotangens#atan2

Kommentar von Sonnenblume282 ,

wie muss ich in den Teil " sin(atan2(b,a)*n) " einsetzen, wenn a und b=5/2 und n=10 ist?

Kommentar von DepravedGirl ,

Wie die atan2 - Funktion aufgebaut ist, das kannst du auf der Webseite von oben lesen.

Zuerst musst du dir die atan2 - Funktion programmieren, dazu brauchst du eine Programmiersprache.

Wenn du eine funktionstüchtige atan2 - Funktion programmiert hast, dann setzt du für y den Wert für b ein und für x den Wert a.

sin(atan2(b,a)*n)

Danach multiplizierst du das Ergebnis der atan2 - Funktion mit n und ziehst aus dem Ganzen noch den Sinus.

Wenn du keine Programmiersprache hast, dann könntest du diese nehmen --> http://www.qb64.net/

Um das nachfolgende Programm nutzen zu können, musst du QB64 installiert haben !

Hier beginnt das Programm -->

DEFDBL A-Z

CLS

PRINT "Form --> z = (a + b * i) ^ n"

PRINT

INPUT "a = "; a

PRINT

INPUT "b = "; b

PRINT

INPUT "n = "; n

complex = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (n / 2) * SIN(atan2(b, a) * n)

real = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (n / 2) * COS(atan2(b, a) * n)

PRINT

IF real < 1D-9 THEN

PRINT "z = "; complex; " * i"

ELSE

PRINT "z = "; real; " + "; complex; " * i"

END IF

PRINT

INPUT "Noch eine Berechnung (J oder j eingeben falls gewollt) "; a$

IF a$ = "J" OR a$ = "j" THEN RUN

PRINT

PRINT "PROGRAMMENDE"

END

FUNCTION atan2 (y, x)

pi = 3.141592653589793#

pi = pi + 2.384626433832795D-16

IF x > 0# THEN atan2 = ATN(y / x)

IF x < 0# AND y >= 0# THEN atan2 = ATN(y / x) + pi

IF x < 0# AND y < 0# THEN atan2 = ATN(y / x) - pi

IF x = 0# AND y > 0# THEN atan2 = pi / 2#

IF x = 0# AND y < 0# THEN atan2 = -pi / 2#

IF x = 0# AND y = 0# THEN atan2 = 0#

END FUNCTION

<-- Hier ist das Programm zu Ende !

Du musst zuerst den Programmtext den ich oben geschrieben habe kopieren und danach in das gestartete QB64 - Programm einfügen, entweder mit der Tastenkombination STRG + V oder über Edit --> Paste. Danach startest du das Programm entweder mit der Taste F5 oder über Run --> Start.

Wichtig zu wissen ist, dass dieses kleine Miniprogramm keinen Parser etabliert hat, das bedeutet, dass nur Kommazahlen akzeptiert werden !, also statt 5 / 2 den Wert 2.5 eingeben, mit einem Punkt . anstelle eines Kommas , !

Wenn du selber mindestens eine Programmiersprache beherrschst, dann dürfte es dir ein leichtes sein dieses Programm in deine Programmiersprache umzuschreiben !

Kommentar von Sonnenblume282 ,

In dem test, den ich morgen zu diesem Thema schreibe darf ich nicht mal einen Taschenrechner benutzen..

Kommentar von DepravedGirl ,

Dann musst du dich an die anderen Antworten halten, die du von anderen Usern schon bekommen hast.

Antwort
von FataMorgana2010, 41

In dem du 5/2 + i * 5/2 in die Form r * e^(i phi) umwandelst. 

Tipp: 5/2 + i * 5/2 = 5/2 * (1 + i) 

Und 1 + i ist? 

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community