Frage von MK1405, 60

Quadratische Ergänzung: Es geht um den Term 2x^2 - 8x - 10. Die Lösung soll 2( x -2)^2 - 18 sein? Wie kommt man darauf?

Meine falsche Lösung: 2( x - 1)^2 -8

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 18

Hallo,

zunächst mußt Du den Faktor vor dem x² ausklammern:

2*(x²-4x-5)

Dann halbierst Du den Faktor vor dem x in der Klammer und quadrierst ihn anschließend. 4:2=2 und 2²=4.

Die quadratische Ergänzung lautet also 4:

2*[(x²-4x+4)-4-5] Da Du die 4 hier einfach addiert hast, mußt Du sie natürlich wieder abziehen, damit Du nichts am Ergebnis veränderst.

Den Ausdruck in der runden Klammer kannst Du nun nach der zweiten binomischen Formel umformen, denn das ist der Sinn der quadratischen Ergänzung. -4-5 faßt Du zu -9 zusammen. 

2*[(x-2)²-9]

Nun mußt Du noch die eckige Klammer auflösen. Dabei wird aus der -9 eine -18, denn 2*(-9)=-18:

2*(x-2)²-18

Wenn es sich hierbei um eine Parabel handeln sollte, könntest Du nun den Scheitelpunkt direkt ablesen: (2|-18)

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 9

Das Wichtigste bei der quadratischen Ergänzung sind die Lücken, die du lassen musst, um ein richtiges Ergebnis zu bekommen. Außerdem musst du einen Faktor, der vor x² steht, ausklammern, darfst ihn aber nicht vergessen.
Zur Sicherheit solltest du, wenn du die Formel das erste Mal hinschreibst, sofort nochmal zurückrechnen, ob alles stimmt.

2x^2 - 8x - 10           Los geht's:

2 (x² - 4x +     ) -       - 10           Man muss jetzt Halbieren/Quadrieren,
                                                und zwar die Zahl vor dem x. Anschließend
                                                muss man das Quadrat innerhalb der Klammer
                                                addieren, außerhalb subtrahieren, damit
                                                wieder alles stimmt. Man muss aber auch
                                                darauf achten, dass vor der Klammer
                                                die
2 steht.
                                                Jetzt füllen wir die Lücken aus
                                                (keine neue Zeile schreiben, das mache nur
                                                  ich jetzt hier).

2 (x² - 4x +  2²  ) - 8  - 10

2 (x - 2)² - 18                 das ist das Ergebnis der quadratischen Ergänzung,
                                     wenn man es das Binom konstruiert hat


http://dieter-online.de.tl/Binomische-Regeln-r.ue.ckw.ae.rts.htm


Was ist da in der Klammer losgewesen:
da 2² = 4 ist, aber noch mit der 2 vor der Klammer multipliziert werden muss, brauchen wir  zur Kompensation:
- 4 * 2 = -8
Sonst ist das Gleichgewicht verloren.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 11

Dein Fehler ist, dass du den Koeffizienten e, also die Zahl am Ende ohne x auch noch mit in die Klammer zieht.

Das macht man normalerweise nicht.

Die quadratische Ergänzung geht in dem Fall so:

f(x) = 2x² - 8x - 10

Öffnungsfaktor ausklammern:

f(x) = 2(x² - 4x) - 10

Quadrat der Hälfte dazuaddieren und subtrahieren:

f(x) = 2(x² - 4x + 2² - 2²) - 10

Letztes Glied ausmultiplizieren:

f(x) = 2(x² - 4x + 2²) -2*2² - 10

Zusammenfassen:

f(x) = 2(x - 2)² - 8 - 10

f(x) = 2(x - 2)² - 18

Der Scheitelpunkt wäre in dem Fall bei (2 | -18).

Lass den dritten Koeffizienten einfach außen vor. ;-))

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Kommentar von MK1405 ,

Ok verstehe, man muss alle anderen Zahlen außer die 4 aus der Klammer bringen.

Und auf die 4 kommt man indem man die Zahl vor dem x, also 4 zuerst halbiert und dann quadriert.

Wie ist es bei einer anderen Aufgabe wie 4/9a^2 + 3b?

Wenn zwei verschiedene Variablen vorkommen?

Gruß MK

Kommentar von Willibergi ,

In diesem Term kommt aber kein Glied mit a vor. Dort ist die Scheitelpunktform schon vorliegend, der Scheitelpunkt liegt bei (0 | 3b).

LG Willibergi 

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 5

Das Ausklammern zu Beginn und die quadr. Ergänzung mit +4-4 ist vollkommen korrekt.

Um jetzt die gewünschte quadratische Klammer bilden zu können, benötigst Du IMMER den positiven Teil der Ergänzung. Die "nicht passenden" Summanden fasst Du zusammen und schreibst das Ergebnis davon ans Ende der Summe, also:

2x²-8x-10=2(x²-4x-5 +4-4) = 2(x²-4x+4 -5-4) = 2(x²-4x+4 -9)

Jetzt die -9 ausklammern (wird wegen der 2 vor der Klammer zu -18) und die vorderen 3 Summanden nach der 2. binom. Formel umformen:

2(x²-4x+4 -9) = 2(x-2)²-18

Antwort
von Schilduin, 12

Du rechnest ja +4-4, wobei du die +4 für die binomische Formel die du auf die klammer anwenden willst, brauchst. So wie du die -4 aus der klammer geholt hast, muss auch -5 aus der klammer.

Antwort
von CREMEFRESH1, 22

Du hast +4-4 gemacht, es soll ein Binom gebildet werden, der entsteht nur durch +2-2, soweit ich weiß.
Dann haste die Formel (a minus b)^2

Kommentar von CREMEFRESH1 ,

ich schreib in 1 stunde nochmal, ich rechne dann kurz schriftlich nach

Kommentar von CREMEFRESH1 ,

Andere waren schneller, schade..

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