Frage von amelieeeencheen, 34

Pythagoreische Zahlentripel, primitive und unechte?

Hallo, Ich muss eine GFS (Präsentation) in Mathe halten, über Pythagoreische Zahlentripel... Es wird eine ppt Präsentation, dochmein problem ist, dass ich bei einer methode die PZT zu finden, nicht genau weiß, wie ich auf die folgenden Formeln komme und ich befürchte, dass mich mein Lehrer danach abfragen wird.

Woher weiß ich also warum:

a= x^2 - y^2 (^2 = hoch 2) b= 2xy c= x^2 + y^2

Danke schonmal,

Lg amelie😁

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von lks72, 22

Sei a^2 + b^2 = c^2 ein PZT, dann ist

a^2 = c^2 - b^2 und nach Binomi 3

a^2 = (c+b) * (c-b), alles durch 4

(a/2)^2 = (c+b)/2 * (c-b)/2

Setze nun x := (c+b)/2 und y := (c-b)/2, dann hast du nach Addition

x+y = (c+b)/2 + (c-b)/2 = 2c/2 = c und analog

x-y = b

Hier sieht man dann auch, dass x und y ganze Zahlen sind (also keine Kommazahlen).

Weiter ist links (a/2)^2 = x * y, also a^2 = 4 * x * y und damit

a = 2 * wurzel(x * y).

So, hier sieht man also, dass bei jedem PZT x * y eine Quadratzahl sein muss, zum Beispiel 4 * 1, also x = 4 und y = 1, dann ergibt sich nämlich a = 4, b = 3 und c = 5.

Um zu verhindern, dass man sich Gedanken um den Quadratkram machen muss, macht man mit Gewalt ein Quadrat daraus, also nimmt man einfach statt a = 2 * wurzel(x * y) einfach a = 2 * x * y, man quadriert also einfach x und y , damit hat man dann aber auch

b = x^2-y^2 und

c = x^2 + y^2.

Kommentar von lks72 ,

Noch ein Zusatz: Ein primitives PZT erhält man, wenn x und y teilerfremd sind, aber nicht beide ungerade. Dies ist ja noch eine schöne Zusatzübung, das zu beweisen

Antwort
von leon31415, 30

Rechne doch einmal nach:

a^2+b^2=c^2, indem du für a=x^2-y^2, für b=2xy und für c=x^2+y^2 einsetzt. So funktioniert es. Bei weiteren Fragen einfach fragen :)

Kommentar von amelieeeencheen ,

ja das habe ich schon verstanden, aber was soll ich antworten, wenn er mich fragt , woher ich: x^2-y^2 2xy und x^2+y^2 her habe 😂😂

Kommentar von leon31415 ,

das ist doch das Beispiel, oder, das sind konstruierte Zahlen, die sicher ein pythagoräisches Tripel bilden,....

Kommentar von lks72 ,

Ja, aber die Frage ist ja, ob PZT zwingend von dieser Form sein müssen, oder anders ausgedrückt: Ob man mit dieser Konstruktionsvorschrift wirklich alle erwischen kann. Die Antwort ist ja.

Kommentar von leon31415 ,

habe schon verstanden, habe die Frage nicht so verstanden :)

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