Frage von odorina, 41

Punktweise Konvergenz gegen eine stetige Funktion?

Hallo,

meine Frage wäre, wenn eine Funktionenfolge punktweise gegen eine stetige Funktion konvergiert, dann heißt das doch dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert?

Ich hab dazu eine Aufgabe und bin ein bisschen verwirrt.

Vielen Dank schon mal!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von iokii, 18

Nein, beispielsweise kann man recht einfach Funktionenfolgen bauen, die Punktweise aber nicht gleichmäßig gegen die (stetige) 0-Funktion konvergieren.

Kommentar von iokii ,

Um es genauer zu sagen : Die Funktionenfolge mit 

f_n(x)=0 für x<n und f_n(x)=1 für x>=n hat diese Eigenschaft.

Antwort
von PhotonX, 22

So weit ich mich erinnern kann, gilt nur das Umgekehrte: Eine gleichmäßig konvergente Funktionenfolge ist auch punktweise konvergent, aber nicht umgekehrt.

Kommentar von odorina ,

falls die punktweise konvergente Folge gegen einer stetigen Funktion konvergiert, dann sollte das heißen, dass die Funktionfolge gleichmäßig konvergiert?!

Kommentar von PhotonX ,

Das weiß ich leider nicht, konnte auf die Schnelle nur die Aussage finden, dass der Grenzwert einer gleichmäßig konvergenten Folge von stetigen Funktionen auch stetig ist. Wenn also der Grenzwert stetig ist, dann hat die Funktionenfolge eine Chance gleichmäßig dagegen zu konvergieren, ob sie das auch muss, weiß ich leider nicht...

Antwort
von Donbal, 27

im Bereich Analyis 1-3 ist Wikipedia sehr gut.

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