Frage von AznDeLuXe, 36

Wie ermittle ich diePunkte, an denen die Tangente den Graphen schneidet?

Ich hätte zur Zeit folgendes Problem: Bei der Aufgabe 4, bei der a) hatte ich am Schluss eine ganzrationale Funktion heraus und musste dementsprechend den x-Wert erraten. Bei der b ist dies nicht mehr möglich und folglich stehe ich auf dem Schlauch.

Aufgabenstellung: https://www.gutefrage.net/frage/punkte-an-dem-tangente-graph-schneidet?foundIn=l...

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 22

f(x) = x³ - 3x
f'(x) = 3x² - 3
P(0,5|f(0,5)) = P(0,5|-1 3/8)

Ich würde das so machen:

Tangente: t(x) = mx + b

Das m bekommst du durch die Ableitung (in dem Punkt):

m = 3x² - 3
m = 3*(0,5)² - 3
m = -2 1/4
=> t(x) = -2 1/4x + b

Das b bekommst du, indem du einfach den Punkt von oben einsetzt:

-11/8 = -9/4*1/2 + b
-11/8 = -9/8 + b
b = -2/8 = -1/4

t(x) = -9/4 x -1/4

Das kann man sich schon einmal zur Übung zeichnen lassen: http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28x%C2%B3+-+3x%2C++-9%2F4+x+-1%2F4%29

Die Schnittpunkte erhältst du durch Gleichsetzen:

-9/4 x -1/4 = x³ - 3x 
x³ - 3/4 x +1/4 = 0
4x³ - 3x +1 = 0

Einen Schnitt- / Berührpunkt kennen wir bereits, nämlich P. Diesen teilen wir als Linearfaktor heraus:

  (4x³ - 3x +1)/(x-0,5)²
= (4x³ - 3x +1)/(x² - x + 1/4) = 4x + 4 4x³ -4x² +x ____________ 4x² -4x +1 4x² -4x +1 __________ 0

Den Linearfaktor müssen wir nur nullsetzen:

4x + 4 = 0
x = -1

Somit liegt der andere Schnittpunkt S bei S(-1|f(-1)) = S(-1|2).

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 18

Die Kurve hat bei 1 ein Minimum. Die Tangente hat damit die Steigung 0.
a) Der zweite Punkt hätte also auch y = -2.
Zu errechen ist also das x aus       x³ - 3x = -2

Und das ist gewiss weder 1 noch 0,75, sondern -2.
S(-2|-2)

Antwort
von AznDeLuXe, 23

Okay, die Lösung ist 1 bzw 0,75, war zu einfach um drauf zu kommen :DDD

Antwort
von AznDeLuXe, 28

Hier die Aufgabenstellung:

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community