Frage von KrazyKevin, 67

Prüfe durch rechnung, ob es einen kleinsten Flächeninhalt gibt. 2x²+x-6?

hey könnt ihr mir bitte erklären wie man das rechnet? Danke schon mal im vorraus :D

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 19

Welcher Flächeninhalt sollte denn da gemeint sein. Diese Parabel hat 2 Nullstellen und der Scheitelpunkt ist unterhalb der x-Achse. Soll da ein Rechteck eingeschrieben werden? Gehört das überhaupt schon zum Stoff eurer Klasse?

Oder was ist das Ziel der Aufgabe?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%C2%B2%2Bx-6

Antwort
von clemensw, 10

Erst einmal zum Verständnis:

2 x² + x - 6 ist eine quadratische Funktion, d.h. der Graph ist irgendeine Parabel.

Der "kleinste Flächeninhalt", der durch diese Funktion beschrieben wird, ist also der kleinste Wert, den diese Funktion annehmen kann.

Gesucht wird also der Extrempunkt / Scheitelpunkt der Parabel.

Wie rechnet man das?

Version 1: Ableitung (falls ihr das schon habt)

f(x) = 2 x² + x - 6

f'(x) = 4 x + 1 = 0 => x = -0,25

Einsetzen in Funktion:

f(0,25) = 2 * 0,25² - 0,25 - 6 = -6,125

=> S (-0,25|-6,125)

Version 2: Durch quadratische Ergänzung in Scheitelform überführen

f(x) = 2 x² + x - 6 = 2 (x² + 0,5x) -6 = 2[(x² + 0,5x + 0,25²) - 0,25²] -6 =...

...= 2[(x+0,25)² - 0,0625] -6 = 2(x+0,25)² - 0,125 - 6 = 2(x+0,25)² - 6,125

=> S (-0,25|-6,125)

Version 3: Symmetrie der Parabel ausnutzen

Nullstellen nach Mitternachts-Formel:

a = 2, b = 1, c= -6

x(1,2) = (-b  ± √(b² - 4ac)) / 2a = (-1 ± √(1 + 48)) / 4 = (-1 ± √49) / 4 = ...

... =  (-1 ± 7) / 4 =>

x1 = -8/4 = -2

x2 = 6/4 = 1,5

Nachdem der Scheitelpunkt in der Mitte zwischen den Nullstellen liegt:

x = (x1 + x2) / 2 = -0,25

Einsetzen in die Funktion s. Version 1

ABER: Ein negativer Flächeninhalt ist eigentlich sinnlos, daher vermute ich, daß Du beim Abschreiben einen Fehler gemacht hast.

Antwort
von TechnikSpezi, 32

Welche Stufe und welche Schulform besuchst du denn und bei welchem Thema seid ihr gerade?

Ich würde dabei jetzt zuerst an Dinge wie den Limes (Grenzwert) denken und somit x gegen 0 laufen lassen, irgendwie sowas war mein erster Gedanke.

Aber ob das beim Flächeninhalt und quadratischen Gleichungen überhaupt Sinn macht... weiß ich gerade nicht.

Ansonsten würden mir noch Dinge wie die Extremstellen einfallen, dass du also das Minimum / den Tiefpunkt ausrechest bzw. bestimmst.

Der Tiefpunkt ist hier, da es eine Parabel ist auch der Scheitelpunkt, also dort, wo die Steigung 0 ist. Eventuell muss dieser Punkt > 0 sein, denn ein negativer Flächeninhalt macht keinen Sinn.

Aber ich weiß wie gesagt nicht so wirklich ob das zur Aufgabe passt.


Kommentar von KrazyKevin ,

realschule 9.Klasse also keine ahnung von limes und so :D

Kommentar von TechnikSpezi ,

Habe nochmal etwas zur Antwort hinzugefügt.

Dann hast du von den Extremstellen auch nichts gehört richtig?

Aber den Scheitelpunkt bestimmen sollte drin sein, egal ob berechnen oder indem du die Parabel z.B. mit einer Wertetabelle zeichnest und dann einfach den Scheitelpunkt abliest.

Antwort
von Blvck, 29

1. Ableitung = 0 -> Extremstellen x

2. Ableitung von x -> Ergebnis < 0: Hochpunkt, > 0: Tiefpunkt

Du sollst halt überprüfen, ob es einen Tiefpunkt gibt.

Kommentar von Tannibi ,

Bei einer quadratischen Gleichung mit positivem x² - Faktor gibt es immer einen Tiefpunkt.

Kommentar von Blvck ,

Man könnte es natürlich auch anders machen, aber die Aufgabe ist "überprüfe durch Rechnung"

Antwort
von Geograph, 27

Die Extremwerte bekommst Du, wenn Du die 2. Ableitung einer Funktion gleich Null setzt: y'' = 0 >> 4 = 0

Deine Funktion hat keinen Maximal- und keinen Minimalwert

Kommentar von clemensw ,

Bevor man ein Ergebnis hinschreibt, sollte man es auf Plausibilität prüfen: Das wäre die allererste Parabel ohne Extremwert.

Kleiner Tipp: 

1. Ableitung = 0 -> Extremwerte

2. Ableitung = 0 -> Wendepunkte.

Kommentar von Geograph ,

Sorry, Du hast natürlich recht.
Manchmal sollte ich erst überlegen bevor ich schreibe :-(

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 26

Inwiefern hat die Aufgabe mit Flächeninhalten zu tun? ^^

LG Willibergi

Kommentar von KrazyKevin ,

hi. ich soll prüfen ob es einen kleinsten Flächeninhalt gibt. Steht so im Buch :D

Kommentar von Willibergi ,

Dann schreib' folgendes:

Bei der vorliegenden Aufgabe kann aufgrund mangelnder Konkretheit kein Bezug zur Fragestellung hergestellt werden.

;-)

Nein, im Ernst:

Hier solltest du den Parameter a in Betracht ziehen:
Ist er negativ, so gibt es einen maximalen Punkt der Parabel.
Ist er positiv, so gibt es einen minimalen Punkt der Parabel.

Guck' dir also einfach immer a an, dann siehst du, ob die Parabel nach oben oder unten offen ist. ^^

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

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