Frage von Gyselle, 62

Probleme mit der Mathematik! Wie kann ich diese Aufgabe einfach lösen?

Die Aufgabe lautet folgendermassen:

f(x) = 2/9(9-x) √x

Der Grap von f und die x-Achse begrenzen im ersten Quadranten eine Fläche. Welches Volumen hat der Körper, der durch Rotation dieser Fläche um die x-Achse entsteht?

Auf eure Antwort wäre ich sehr dankbar!

Antwort
von fjf100, 20

Siehe Mathe-Formelbuch Anwendung "Integralrechnung"

"Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse"

Formel V= pi * Int (f(x)^2 *dx

f(x)^2= (2-2/9 *x) * (2 - 2/9 *x) * x^(0,5) * x^(0,5)

V= pi * Int (4/81 * x^3- 8/9 * x^2 + 4*x) dx 

V= pi * (1/81 *x^4 - 8/27 *x^3 + 2 *x^2 + C)

V= obere Grenze - untere Grenze

Nullstellen im Intervall xu (untere Grenze) und xo (obere Grenze) beachten.

Prüfe auf Rechen- u. Tippfehler !

Antwort
von Mabur, 32

Erst Null stellen bestimmen dann machen was Biene gesagt hat nur als Grenzen die Nullstellen einsetzen (also da wo der Grapf über der x Achse lang läuft... den Bereich möchtest du haben.

Kommentar von Gyselle ,

Ich frage dich ungern aber könntest du es kurz lösen und mir das zeigen?
Ich komme einfach nicht weiter....

Kommentar von Mabur ,

http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=4%2F81(9-x)^2*x&random=false

Mir fehlt die Zeit, das jetzt sehr ausführlich zu machen, klickst du auf den Link, dann kriegst du die Lösung des Integrals - da musst du die Nullstellen einsetzen also einmal in das Integral den Wert 9 einsetzen und dann davon den Wert für 0 abziehen (das sind die Nullstellen), das was da rauskommt nimmst du mal Pi und du bist fertig.

https://www.youtube.com/watch?v=Q6SyfR76k2s

Das eigentlich schwere an der Aufgabe ist das Integral lösen - schaue dir am besten Youtube viedeos wie das obere an, bist du weißt wie das geht... wenn du das kannst, wirst du auch solche Aufgaben ohne Probleme hinkriegen, aber dafür musst du üben und auf Youtube gibt es wirklich viele Videos dazu... du kannst das schau sie dir an und rechne pro Tag 3-4 Integrale, dann kannst du das bald im Schlaf.

Viele Grüße

Mabur

Antwort
von Biene1233, 44

Einfach die Formel anwenden

Pi*Integral(f(x))^2

Kommentar von Biene1233 ,

zuerst aber noch die Schnittpunkte mit der x Achse berechnen f(x)=o

Kommentar von Biene1233 ,

Das sind dann deine Grenzen für das Integral

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 8

            2 
f(x) = —— * (9 - x) * √x
            9

Nullstellen berechnen: 

Zuerst müssen wir die Nullstellen berechnen, da diese die Grenzen des Integrals darstellen:

         2 
0 = —— * (9 - x) * √x
         9

Hier müssen wir gar nicht groß auflösen, sondern können gleich den Satz des Nullprodukts anwenden:

Ein Produkt wird null, wenn mindestens einer seiner Faktoren null wird.

Also entweder (9 - x) = 0 oder √x = 0.

Daraus folgt: x₁ = 0; x₂ = 9

Formel für das Volumen des Rotationskörpers aufstellen:

Das sollte dir bekannt sein.

Am Ende multiplizieren wir noch aus, da Polynome am einfachsten zu integrieren sind:

           ₉                       ₉                                              ₉
V = π * ∫ f(x)² dx = π * ∫ (2/9 * (9 - x) * √x)² dx = π * ∫ 4/81 * x³ - 8/9 * x² + 4x dx
          ⁰                       ⁰                                              ⁰

Integrieren:

Jetzt kommt der eigentliche Teil der Aufgabe. Wir müssen integrieren.

             ₉
V = π * ∫ 4/81 * x³ - 8/9 * x² + 4x 
            ⁰

Der Übersichtlichkeit halber bilden wir erst einmal die Stammfunktion (da die Konstante c sich ohnehin immer wegkürzt, habe ich sie weggelassen):

F(x) = ∫ 4/81 * x³ - 8/9 * x² + 4x
        = ∫ 4/81 * x³ dx + ∫ -8/9 * x² dx + ∫ 4x dx
        = (4/81)/4 * x⁴ + (-8/9)/3 * x³ + 4/2 * x²
        = 1/81 * x⁴ + (-8/27) * x³ + 2x²

Jetzt setzen wir noch die Grenzen ein, also die eben berechneten Nullstellen der Funktion:

V = π * (F(9) - F(0))

Da der Term bei x = 0 null wird, kann F(0) einfach weggelassen werden:

   = π * F(9)

Jetzt einfach in die Stammfunktion einsetzen:

   = π * (1/81 * 9⁴ + (-8/27) * 9³ + 2*9²)

Und zusammenfassen:

   = π * (81 - 216 + 162)
   = 27π

Der Rotationskörper hat also etwa ein Volumen von 27π ≈ 84,82 VE.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

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