Problem mit Grenzwerten

((n-3)^2)*n/((n^2)+1) = (n^2-6n+9) * n / (n^2+1) = (1/n^2 auaklammern) (n-6+9/n) / (1+1/n^2)

grenzwertsätze: falls für 2 folgen die grenzwerte existieren, dann existieren auch die grenzwerte der summe und des pordukts der beiden folgen. auch die differenz und der quotient, falls die folge, durch die man teilt, für fast alle glieder ungleich 0 ist, haben einen grenzwert. (und zwar jeweils die summe/produkt der grenzwerte etc... )

du weißt also, falls der grenzwert von 1 und von 1/n^2 existiert, dann auch für 1+1/n^2.

so kann man argumentieren, warum du die nullfolgen ignorieren kannst, aber das ist nicht 100% sauber. in dem fall (im falle von divergenz) ist der sauberste mathematischste weg immernoch das abschätzen. ich zerlege den quotienten in zähler folgendermaßen:

(n-6) / (1+1/n^2) + (9/n) / (1+1/n^2) das ist offensichtlich größer oder gleich als der linke term, der rechte ist ja positiv.

deine folge >= (n-6) / (1+1/n^2) >= (n-6), da der nenner >= 1 ist, also der bruch kleiner werden würde, wenn ich den nenner behielte.

der einzige grenzwertsatz, den man nun verwenden müsste, wäre, dass limes n gegen unendlich einer folge dasselbe ist wie limes (n+6) gegen unendlich einer folge. d.h. ein endlicher indexshift ist egal. geht n gegen unendlich (das ist fundamental und sicherlich bewiesen), dann geht auch n-6 gegen unendlich. die folge wäre dann formal so definiert, dass glied a(n) = n-6, also a(n+6)=n und limes n gegen unendlich von a(n+6) ist dann eben dasselbe wie limes n gegen unendlich von a(n). das sollte auch bekannt sein.

grenzwertsätze sind zwar trotzdem anwendbar, aber so wie die sätze normalerweise vorgestellt werden, wird immer als bedingung gestellt, dass bereits irgendwelche grenzwerte existieren und daher aussagen über kompositionen von folgengetroffen werden kann. bei einer divergenten folge ist aber die konvergenz eben nicht gegeben. dennoch verlieren die sätze nicht ihre gültigkeit in diesem falle. unsauber könnte man auch folgendes machen: 1+1/n^2 hat denselben grenzwert wie 1, n-6+9/n hat denselben grenzwert wie n-6,. dann reduziert sich das problem auf (n-6)/1 = n-6. so hat man die folge nicht in 2 folgen, sondern in viele kleinere folgenstücke zerlegt, auf denen man so tut, als ob man etwas üebr sie aussagen könnte, aber tatsächlich durfte man eigentlich nie den grenzwertprozess der kleinen stücke durchführen, weil man ihn nicht mehr für die folge insgesamt anwenden darf. das sieht man an dem beispiel, dass n-6 zwar denselben grenzwert hat wie n, aber nicht mittels der üblichen grenzwertsätze, sondern aufgrund der tatsache, dass indexverschiebungen irrelevant sind.

ich hoff ich hab dich nicht verwirrt. was ihr wahrscheinlich machen sollt ist genau das unsaubere, das ich gerade kurz vorgeführt habe, aber das ist nicht exakt. divergenz weist man eigentlich mit abschätzen nach.

konvergenz allerding in der tat mit den konvergenzsätzen. (ein grund warum die sätze dennoch gelten ist, dass man die reellen zahlen ja ohne widerspruch zu den bisherigen limes-regeln um +/-unendlich erweitern kann. man kann soa uch die zahl unendlich als grenzwert definieren. allerdings hilft dir das nicht bei folgen, die zwar nicht konvergieren, aber auch nicht unendlich sind. das gibt es auch. zB die folge 0,1,0,1,0,1... immer abwechselnd 0 oder 1. ist nicht konvergent, aber auch nicht "bestimmt divergent", da verlieren die sätze ihre gültigkeit, da ja eigentlich konvergenz vorausgesetzt wurde)

ein beispiel mit konvergenter folge:

2 * (n+1)^2 / n^2

= 2 * (n^2+2n+1) / n^2 = 2 * (1+2/n+1/n^2)

die grenzwerte von 1, 2/n, 1/n^2 und auch vom vorfaktor 2 existieren. daher können wir die grenzwerte davon (1,0,0,2 in der aufgelisteten reihenfolge) mit + und * kombinieren. in dem fall erhalten wir dann 2 * (1+0+0) = 2.

anderes beispiel: folge (n+1) / n^2 hier mach ich das mal ganz genau.

= 1/n + 1/n^2

angenommen ihr wisst nur, dass 1/n gegen 0 geht, habt das für 1/n^2 aber nicht explizit gezeigt, dann müsst ihr abschätzen, dass 1/n^2 = 1/n * 1/n nochmal um ein bisschen kleiner ist als 1/n, also insgesamt kleiner oder gleich 1/n+1/n=2/n gilt. dann wieder konvergenzsatz auf 2 * 1/n anwenden.