Frage von camel337, 14

Primfaktorzerlegung bei vorgegebener Teilermenge?

Ich muss mal wieder eine mathematische Frage stellen.

Ich habe eine Zahl X mit 24 Teilern. Und dazu soll ich alle Primfaktorzerlegungen finden.

Ich weiß wie eine Primfaktorzerlegung geht. Aber ich weiß nicht, wie ich das im Umkehrschluss machen soll.

Genau lautet die Aufgabe "Finden Sie alle Primfaktorzerlegungen von solchen Zahlen, die genau 24 Teiler bestitzen".

504 besitzt z.B. 24 Teiler. Und diese Zahl hab ich auch schon in ihre Primfaktoren zerlegt. Aber wie soll ich alle beliebigen Zahlen und ihre Zerlegungen finden, die 24 Teiler haben?

Ich danke schonmal!

Antwort
von PWolff, 9

Dafür brauchst du die generelle Darstellung einer Primfaktorzerlegung.

Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen (abgesehen von der Reihenfolge der Primfaktoren):

n = p_1^(k_1) * p_2^(k_2) * ... * p_s^(k_s)

(n ist die gegebene Zahl, die p_i sind Primzahlen, alle anderen Zahlen sind geeignete positive Ganzzahlen)

Jeder Teiler t von n lässt sich in der Form darstellen

t = p_1^(L_1) * p_2^(L_2) * ... * p_s^(L_s)

(die L hab ich groß geschrieben, damit man sie erkennt)

Hierbei ist 0 <= L_1 <= k_1, 0 <= L_2 <= k_2, ..., 0 <= L_s <= k_s.

Für L_1 sind damit (k_1+1) verschiedene Werte möglich, für L_2 (k_2+1), ..., für L_s (k_s+1).

Die Anzahl der Teiler von n ist damit

(k_1+1) * (k_2+1) * ... * (k_s+1)

Wenn n also 24 Teiler haben soll, ist das genau der Fall, wenn das Produkt der um 1 erhöhten Primfaktorpotenzen von n (also der obige Ausdruck) gerade 24 ergibt.

Du brauchst also alle möglichen Faktorisierungen von 24 (mit beliebig vielen Faktoren).

Für jede dieser Faktorisierungen kannst du dann die Primzahlzerlegungen der Teiler einfach angeben, wobei du die Primzahlen selber abstrakt lässt - so verstehe ich die Aufgabe.

(D. h. es ist nicht schwer, aber aufwendig. Es kommen ziemlich viele Zerlegungen zusammen, weil 24 ziemlich viele Teiler hat.)

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