Frage von xTimoDEx, 34

Potenzrechnen Hilfe?

Hallo, ich bin vom Gymnasium 10 Klasse auf die Realschule 9 Klasse genganen...

Ich war noch nie wirklich gut im Potenzrechnen und da wir das jetzt wieder machen und ich keine Ahnung mehr habe wie das geht brauche ich eure Hilfe...

ALso es ist eine Textaufgabe:

Untersuchungen haben ergeben, dass sich die Anzahl der Keime in frisch gemolkener Kuhmilch etwa jede halbe Stunde verdoppelt. Zu Beginn wurden 700 Keime gezälhz.

Frage: Wie lange dauert es, bis sich eine Milliarde Keime gebildet haben?

Da häng ich jetzt :/

Würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte! :)

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 15

Du musst dafür eine Exponentialfunktion aufstellen:

700 Keime sind am Anfang schon da. Jede halbe Stunde verdoppeln sie sich, also vervierfachen sie sich jede Stunde.

Das ergibt:

f(x) = 700*2^(2t)
(wobei t die Stundenanzahl ist)

Und jetzt mit 1.000.000.000 = 10⁹ gleichsetzen:

10⁹ = 700*2^(2t)
10⁹/700 = 2^(2t)
log₂(10⁹/700) = 2t
t = log₂(10⁹/700)/2 = log₂(10⁹/(10²*7))/2 =log₂(10⁷/7)/2 ≈ 10,22

Also haben sich nach etwa 10,22 Stunden (was 10 Stunden, 13 Minuten und 12 Sekunden entspricht) 1 Milliarde Keime gebildet.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Antwort
von Khoonbish, 9

Erstmal musst du die Funktionsgleichung aufstellen, die dir die Anzahl der Keime in Abhängigkeit von der Zeit angibt.

Das wird wohl im Allgemeinen so aussehen: f(t) = a*b^t

Nun weißt du, dass f(0) = 700, also f(0) = a*b^0 = a = 700 und daraus folgt schonmal

f(t) = 700*b^t, wobei t die Zeit in Stunden angibt.

Nun weißt du aber auch, dass f(0,5) = 1400, da die sich ja halbstündig verdoppeln.

Also f(0,5) = 700*b^0,5  = 1400  | : 700

                         b^0,5 = 2  | ^2

                         b = 4

Also: f(t) = 700 * 4^t, was auch Sinn macht, da es bei 700 Keimen losgeht und halbstündige Verdoppelung dasselbe ist wie Vervierfachung pro Stunde.

Nun zur Frage, wie lange es dauert bis sich eine Milliarde Keime gebildet haben.
Wir wollen also t bestimmen, sodass die Anzahl der Keime f(t) gleich 10^9 sind.

Also f(t) = 700* 4^t = 10^9  | :700

                        4^t = 10^9 / 700  | log( )

                        log(4) * t = log(10^9 / 700)   | : log(4)

                                   t = log(10^9 / 700) / log(4) = 10,223 

Antwort
von QuestLeo, 14

Also wir suchen eine Funktion f(x) = a^(b*x) * c.

Zunächst bestimmen wir a, als eine Art Parameter für das Wachstum. Die Aufgabe gibt uns vor, dass sich die Anzahl verdoppelt. Also a = 2.

Gehen wir davon aus, dass x, die Anzahl der Stunden ist. Nun verdoppeln sich die Keime nicht jede Stunde, sondern jede halbe Stunde. Damit erhalten wir b = 2.

Weiterhin haben wir gegeben, dass f(0) = 700 gelten soll. f(0) = 1 * c. Also c = 700.

Somit haben wir alle Parameter bestimmt und kennen f(x).

Nun solltest du durch Umstellen das x bestimmen können, für welches f(x) = 1.000.000.000 gilt.

Antwort
von Properz, 11

Hallo,

hier habe ich meinen Vorschlag, wie man diese Aufgabe lösen kann (unten siehe Bild). Ich habe die Zahlen einwenig aufgerundet, sodass die Lösung vielleicht nicht ganz exakt ist...


Antwort
von simsilol, 9

also, 

f(x) = 700*2^(2t)

10⁹ = 700*2^(2t)
10⁹/700 = 2^(2t)
log₂(10⁹/700) = 2t
t = log₂(10⁹/700)/2 = log₂(10⁹/(10²*7))/2 =log₂(10⁷/7)/2 ≈ 10,22

wenn du noch fragen hast dann frag ruhig

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