Frage von HantelbankXL, 21

Potenzen (a) und Gruppen: Warum ist die von a erzeugte Untergruppe immer kommutativ?

Wenn (G, *) eine Gruppe ist bildet die Menge der Potenzen = {a^n | n Element Z) eine Untergruppe von G. Soweit so gut, aber im Mathematikbuch steht, dass diese Untergruppe immer kommutativ ist. Wieso, wenn doch zum Beispiel 2^3 = 8 und 3^2 = 9 ungleich sind?

Antwort
von nutzer131, 15

Wenn du eine Gruppe (G, *) hast und eine Teilmenge U von G, dann ist (U, *) Untergruppe von (G,*), wenn U bezüglich der Verknüpfung * wieder eine Gruppe ist.

Bezüglich der Verknüpfung *

Die Potenzierung ist in deinem Beispiel ja nicht die Verknüpfung. Die Gruppe U muss dementsprechend bezüglich * kommutativ sein.

In deinem Beispiel ist 2^3 einfach nur ein Element der Untergruppe. ^ ist nicht die Verknüpfung der Untergruppe. 2^3 * 2^2 = 2^2 * 2^3 wäre z.B. eine korrekte Folgerung aus der Kommutativität.

Antwort
von WeicheBirne, 17

Der Definition nach ist eine Gruppe (G, *) dann kommutativ wenn für alle Elemente x, y der Gruppe gilt.

x * y = y * x

In Deiner Gruppe {a^n | n Element Z} kann ich zwei beliebige Elemente

a^h und a^k wählen und es gilt immer

a^h  *  a^k = a^k  *  a^h


Übrigens sieht das nach Deiner Definition so aus als wäre die Basis immer a. Du kannst a nicht frei wählen (also a ist nicht in einem Elemt der Gruppe 2 und in einem anderen 3).


Zu kommutativen Gruppen gibt es übrigens einen Wikipediaartikel

 https://de.wikipedia.org/wiki/Abelsche\_Gruppe

Kommentar von HantelbankXL ,

Vielen Dank für deine Antwort. Ich wusste zwar was eine kommutative Gruppe ist, dachte bei meiner Frage aber nie an den Operator * sondern immer nur an ^.

Kommentar von nutzer131 ,
Übrigens sieht das nach Deiner Definition so aus als wäre die Basis
immer a. Du kannst a nicht frei wählen (also a ist nicht in einem Elemt
der Gruppe 2 und in einem anderen 3).

Hast Recht, das auch noch.

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