Frage von brownie4899, 56

Populationsökologie exponentielles Wachstum?

Hallo,

Ich muss ein Referat über Populationsökologie halten und verstehe eine Sache nicht genau: Man kann ja das Wachstum von z. Bsp. Bakterien mit dieser Zinseszinsformel ausrechnen (Nt=n0 * (1+r)^t). Wenn ich eine Wachstumsrate von z. Bsp. 10% und einen Anfangsbestand von 1000 Bakterien habe, dann würde es ja z Bsp. heißen, dass nach 5min (t=5) 1610,51 Bakterien da wären. Aber für die Populationsökologie gibt es ja die typische Formel "dn/dt= r*N" (dn=Veränderung der Individuenzahl, dt=Zeit). Das soll ja die Differentialgleichung des exponentiellen Wachstums sein. Ich verstehe den Zusammenhang aber nicht. Die Differentialgleichung gibt doch eigentlich die momentane Änderungsrate an. Wenn ich für r also 0,1 und für N 1000 einsetze kommt ja 100 raus. Was sagt mir dann diese 100? Weil es kommen ja nicht immer 100 Bakterien pro Zeitintervall dazu..

Ich hoffe ihr versteht was ich meine und könnt mir den Zusammenhang (Gerne anhand meines Beispiels) erklären.

Liebe Grüße und danke :)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von MusiToo, 25

Die Formel für die mometane Wachstumsrate sollte vollständig dn/dt = r * N(t) lauten.

Mit 0,1 * 1000 berechnest du somit nur die Wachstumsrate zum Zeitpunkt t=0 und diese ist korrekterweise dn/dt = 100.

Bei t=5 wäre die momentane Wachstumsrate 0,1 * N(5), somit 0,1 * (1000 * 1,1^5) = 0,1 * 1610,51, also dn/dt = 161,051.

dn/dt muss in Abhängigkeit von jeweiligen t gesehen werden, da das Wachstum nicht linear (also im Betrag der Änderung konstant), sondern exponentiell ist (also im Betrag der Änderung zunimmt).

Kommentar von brownie4899 ,

Vielen lieben Dank, dass hat mir total geholfen! Heißt das jetzt also, dass in der 5. Minute 161,051 Bakterien hinzukommen, oder wie genau?

Kommentar von MusiToo ,

Ja!

Kommentar von brownie4899 ,

Wirklich unendlich vielen Dank mir hat das so sehr geholfen, hab jetzt erstmal alles verstanden! :)

Kommentar von brownie4899 ,

Okey, sorry eine kleine Unklarheit ist trzdm noch da...

Wenn man jetzt weiter zu der Gleichung mit dem Umweltwiderstand und der Kapazität K geht, also dn/dt= r*N*(K-N)/K, wo muss ich jetzt wirklich nur N einsetzen, und wo N(t)?

Kommentar von MusiToo ,

Beim logistischen Wachstum muss die Wachstumsrate (r) gebremst werden, damit die vorgegebene Kapazität (K) rechnerisch nicht überschritten wird.

Die gebremste Wachstumsrate lautet rB = r * (1 - N(t)/K).

Für das momentane Wachstum gilt dann:

dn/dt = r * N(t) * (K - N(t)) / K   bzw.
dn/dt = r * N(t) * (1 - N(t)/K)

Das Wachstum zum Zeitpunkt t wird bestimmt durch die bereits vorhandene Population zum Zeitpunkt t, also N(t) sowie durch die noch verfügbare (Aufnahme)Kapazität zum Zeitpunkt t, also 1 - N(t)/K.

N(t)/K stellt dabei den momentanen Sättigungsgrad der Kapazität dar.

Somit ist für dn/dt in beiden Fällen N(t) zu verwenden (und nicht N(0)).

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 24

Hallo,

die Zinseszinsformel paßt für exponentielles Wachstum. 1000 Bakterien mit einer Wachstumsrate von 10 % pro Minute kann man nach der Formel 
1000*1,1^t berechnen.

Diese Formel geht aber davon aus, daß alle Bakterien ewig leben und keine stirbt. Bei normalen Populationen gibt es aber auch Abgänge durch Feinde, altersbedingtes Sterben, Abwandern usw. Da greifen dann Differentialgleichungen, die Zu- und Abgänge in eine Formel fassen.

Am bekanntesten ist das Räuber-Beute-Modell: Je mehr sich die Beutetiere vermehren, desto mehr Nahrung gibt es für die Räuber, die so die Beutetiere dezimieren. Gibt es von denen aber weniger, ist auch weniger Nahrung für die Räuber da, die so wegen des mangelnden Nahrungsangebotes weniger werden. Nun können sich die Beutetiere aber wieder stärker vermehren, so daß auch die Räuber wieder mehr Freßchen finden und mehr Nachwuchs bekommen. So pendelt dieses System immer zwischen zwei Extremen hin und her.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von brownie4899 ,

Vielen Dank schon mal dafür! Wieso aber geht die Zinsformel davon aus dass keiner stirbt? Weil die Wachstumsrate r lässt sich ja aus der Differenz von Geburten und Sterberate berechnen und da ist doch also schon drin, dass Tiere sterben oder?

Kommentar von Willy1729 ,

Die Zinseszinsformel ist ja eigentlich für anwachsendes Kapital gedacht, das eine gewisse Zeit lang festgelegt ist. Da kommt ja zwischendurch nichts weg, sondern wird brav und regelmäßig mehr durch die anfallenden Zinsen. Leider gilt dies natürlich auch für Schulden, die auf diese Weise auch immer stärker anwachsen.

In der Natur kommt ungehemmtes Wachstum aber in der Regel nicht vor; deshalb greift hier die Zinseszinsformel nur bedingt. Bei radioaktivem Zerfall allerdings ist sie brauchbar, weil der doch sehr regelmäßig und vorhersehbar stattfindet.

Antwort
von Geograph, 5

Zu einer Wachstumsrate gehört immer auch eine Zeitangabe, z.B. r =10% in einem Tag (1d = 24h).

Bei der Zinsrechnung (z.B. 3%) ist dieser Zeitraum normalerweise ein Jahr

Mit der Zeitangabe kannst Du eine Zeitkonstante τ (tau) berechnen.
Das ist die Zeit, in der sich der Ausgangswert verdoppelt.

N(t) = N(t0) * 2^((t-t0)/ τ) 

Mit den oben angenommenen Werten (10% und 24h) ergäbe sich:
(1 + 10%) =  2^(24h/ τ)
und damit 
τ = 24h * log(2) / log(1,1) = 174,5h

Dann ist die Anzahl nach einer einer Stunde (t = 1h):
N(1h) = N(t0) *  2^(1h/174,5h) N(t0) * 1,1

und in 30Tagen
N(5d) = N(t0) * 2^(720h/174,5h) = N(t0) * 17,5

Antwort
von BarbaraAndree, 29

Vielleicht ist dieser Link dir ja eine kleine Hilfe:

http://www.lerntippsammlung.de/-Oe-kologie-_-Eine-Zusammenfassung.html

Kommentar von brownie4899 ,

Nein tut mir Leid, aber da finde ich gar nichts :( trzdm danke!

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