Frage von Sagdaehich, 31

Polynomfunktionen - Mathematik?

Hallo,

also ich habe ein Problem bei dem folgendem Beispiel:

Ein Wasserstrahl tritt in Höhe von 1 m aus. Nach 3 m Entfernung vom Austrittsort erreicht der Strahl eine maximale Höhe von 2,5 m.

  1. Geben Sie ein Gleichungssystem für die Koeffizienten einer Polynomfunktion 2. Grades an, die die Höhe des Wasserstrahls (in m) in Abhängigkeit von der waagrechten Entfernung vom Austrittsort (in m) angibt.
  2. Berechnen Sie jene Polynomfunktion

die Berechnung und das Ergebnis sehen so aus:

h(x) = ax^2 + bx + c h'(x) = 2ax + b

I. h(0) = 1 => a0^2 + b0 + c = 1 II. h'(3) = 0 => 2a^3 + b = 0 III. h(3) = 2,5 => a3^2 +b*3 + c = 2,5

Nun zu meiner Frage:

Wieso verwendet man bei II. h'(x) und bei den anderen h(x) ? Was hat es mit dem h'(x) und h''(x) auf sich ? Gibt es dafür vielleicht eine simple Erklärung ? Ich würde mich echt um ne hilfreiche und eine einfach erklärte Antwort freuen.

Danke schon mal im vorraus!!

LG

Antwort
von FuHuFu, 5

Der Wasserstrahl stellt eine nach unten geöffnete Parabel dar wobei  der höchst Punkt der Punkt S ( 3 | 2,5) ist..

Die Funktion  h(x) bezeichne die Höhe des Wasserstrahl in der Entfernung x (x = horizontale Entfernung vom Austrittspunkt)

h ( x ) = a x^2 + b x + c

Dann haben wir 3 Bedingungen

(1) Der Austrittspunkt ist A ( 0 | 1 ). A muss auf dem Graphen liegen. d.h 
      h(0) = 1, eingesetzt ergibt c = 1, 

Die Funktion hat also die Form h ( x ) = a x^2 + b x + 1

(2) Der Punkt S ( 3 | 2,5) muss auf dem Graphen liegen d.h. h(3)=2,5
      9 a + 3 b = 2,5

(3) Der Punkt S (3 | 2,5) ist der höchste Punkt des Wasserstrahls. Das
      heisst der Graph hat bei S (3 | 2,5) eine horizontale Tangente.
      Also ist die Ableitung der Funktion an der Stelle 3 gleich 0
      h ' ( 3 ) = 0
      2 a 3 + b = 0
      6 a + b = 0
      oder b = - 6 a

Das setzen wir in die Gleichung ein, die wir aus Bedingung (2) erhalten haben:

9 a + 3 ( -6 a ) = 2,5

9 a - 18 a = 2,5

- 9a = 2,5

a = - 5/18

Und, da b = - 6 a,    b = 5 /3

Damit lautet die Funktion

h ( x ) = - 5/18 x^2 + 5/3 x + 1 

Antwort
von yuun19, 16

h'(x) ist die erste Ableitung der Funktion, er gibt den Anstieg der Ausgangsfunktion an. Das heißt, bei einem Hoch- oder Tiefpunkt (Maximum und Minimum) ist der Anstieg gleich 0, da die 3m für stehen und der Strahl dort den Hochpunkt hat, kannst du davon ausgehen, dass dort der Anstieg (also die erste Ableitung=h'(x)) 0 ist --> h'(x)= 0

Kommentar von Sagdaehich ,

danke, also bedeutet das, dass bei dem 1. h(0) = 1 der Autrittsort ist (da es dort entspringt und die Höhe 1m ist). Was ist aber mit dem 2. und 3.? Das heißt h'(3) ist mein Hochpunkt von 3m, aber wieso ergibt dies 0? Und was hat es mit h(3) = 2,5 auf sich?

Kommentar von yuun19 ,

Ja also 1. ist der Austrittsort. h'(3)= 0, weil es bei einem Hochpunkt der Anstieg 0 ist, stell dir diesen Wasserstrahl mal vor, nach dem Hochpunkt fällt die Funktion logischerweise. Das heißt, wenn er zuvor gestiegen ist und jetzt fällt, also sinkt, muss es doch irgendwo einen Punkt geben, wo das im Gleichgewicht ist, also der Anstieg wieder steigt noch sinkt, das ist der Hochpunkt, an dem weder die Funktion steigt oder sinkt. h(3)= 2,5 stellt nur den Punkt dar, an dem die Funktion durchläuft, da du weißt, dass ab einer Weite von 3 Meter, der Wasserstrahl eine Höhe von 2,5 Meter erreicht, kannst du genau sagen, dass der Strahl bzw. die Funktion h(Weite 3m) = Höhe 2,5m. 3m ist der x-Wert, an dem der y-Wert 2,5m erreicht

Antwort
von iokii, 19

Das sind die Ableitungen. Wenn du einen Hochpunkt hast ist die Ableitung 0.

Antwort
von clemensw, 13

Du hast eine Gleichung mit 3 Unbekannten a, b und c:

h (x) = ax^2 + bx + c

c findet man durch den Austrittsort: x=0, h (x)=1m

1 = a×0 + b×0 + c

c = 1

Am Punkt x=3m erreicht die Parabel den höchsten Punkt, d.h. hier ist die Ableitung h'(x)=0!

h'(x) = 2ax + b

h'(3) = 6a + b = 0

b = -6a

Außerdem kennst du die genaue Höhe:

h(3) = 2,5

2,5 = a×3^2 - 6a×3 + 1

1,5 = 9a - 18a 

1,5 = -9a

a = -1/6

Noch Fragen?

Kommentar von Sagdaehich ,

danke, das hat mir echt weitergeholfen, aber vl könntest du mir mein oberes Kommentar noch beantworten? 

"danke, also bedeutet das, dass bei dem 1. h(0) = 1 der Autrittsort ist (da es dort entspringt und die Höhe 1m ist). Was ist aber mit dem 2. und 3.? Das heißt h'(3) ist mein Hochpunkt von 3m, aber wieso ergibt dies 0? Und was hat es mit h(3) = 2,5 auf sich?"

ich würde nur eine Schritt für Schritt Erklärung brauchen wieso ich diese Zahlen so verwende.

Kommentar von clemensw ,

Sagt dir der Begriff "Ableitung" etwas?

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