Frage von murmli, 46

Physik gleichförmige Bewegung / gleichförmig beschleunigte Bewegung?

Hallo liebe Community,

ich suche seit 2 Stunden eine Lösung zu folgender Aufgabe:

Ein LKW fährt auf der Autobahn mit einer konstanten Geschwindigkeit von 90 km/h. 100 m hinter dem LKW setzt ein PKW (vPKW = 72 km/h) mit einer Beschleunigung von aPKW 4 m/s2 zum Überholen an. Nach welcher Zeit t sind der LKW und der PKW auf gleicher Höhe?

Mein Ansatz ist die gleichförmige Bewegung mit der gleichförmig beschleunigten Bewegung + Anfangsgeschwindigkeit + 100m (Wegen dem Ortsunterschied) gleichzusetzen. Mein Ergebnis scheint mir unplausibel, ist der Ansatz korrekt ?

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 9

Mein Ansatz ist die gleichförmige Bewegung mit der gleichförmig beschleunigten Bewegung + Anfangsgeschwindigkeit + 100m (Wegen dem Ortsunterschied) gleichzusetzen.

Mir ist nicht klar, wie Du das meinst. 

Dass - im Newton-Limes - die Ortsverschiebung Δx während einer Zeitspanne Δt bei einer konstanten Beschleunigung a in einer Richtung aus dem Stand gleich

(1) Δx = ½·a·(Δt)²

ist, was in einem t-v-Diagramm der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Grundseite Δt und der Höhe v(Δt) = a·Δt entspricht, ist Dir entweder schon klar, oder spätestens jetzt. Es ist immer gut, sich das gezeichnet vorzustellen.

Natürlich musst Du auch die Geschwindigkeit in m/s umrechnen, damit Die Maßeinheiten zusammenpassen:
90 km/h = 25m/s,
72km/h = 20m/s.
Wenn Du nun

(2.1) x.LKW = v.LKW·t = x.PKW = ½·a.PKW·t² + v₀.PKW + x₀.PKW

meinst, wobei ich

(2.2) v₀.PKW := v.PKW(t=0);    x₀.PKW := x.PKW(t=0)

und

(2.3) 0 = t.[Beginn der Beschleunigung des PKW]

meine, hast Du vielleicht den Fehler gemacht, x₀.PKW = 100m zu setzen, statt, wie es richtig ist, x₀.PKW = –100m. Du nimmst ja an, dass der LKW bei x=0 startet.

Natürlich kannst Du auch den Nullpunkt von x so setzen, dass in dem Moment, in dem der PKW zu beschleunigen beginnt, dieser x=0 hat und (2.1) zu

(3)  v.LKW·t + 100m = ½·a.PKW·t² + v₀.PKW

wird. Allerdings kannst Du es Dir auch einfacher machen: 

Bewegung ist relativ, und vor allem konstante Bewegungen lassen sich wegtransformieren, Du kannst also v.LKW wegtransformieren und v.PKW durch v'.PKW = v.PKW – v.LKW ersetzen, die anfangs sogar negativ ist. Dann musst Du nur noch 

(4)      0 = ½a.PKW·t² + v'.PKW·t + x₀.PKW
              = ½·(4m/s²)·t² – (5m/s)·t – 100m
⇔ 100m = ½·(4m/s²)·t² – (5m/s)·t

setzen. Dies ist eine quadratische Gleichung in t, die Du jetzt lösen musst. Viele präferieren die p-q-Formel, ich die quadratische Ergänzung.

Antwort
von Bellefraise, 13

Bevor es hier ans rechnen geht, die Aufgabe etwas diskutieren. Zunächst mal haben die Fahrzeuge einen Abstand von 100m. Wenn beise die gleiche Geschwindigkeit hätten, würde sich der Abstand nicht verändern.

Jetzt hat der Pkw aber 72 km/h. Würde er nicht beschleunigen, würde der Abstand zwischen beiden stetig zu nehmen. Jetzt ist es so, dass der Abstand zunächst zunimmt und im Zuge der Beschleunigung des Pkw wieder abnimmt, bis der Lkw erreicht wurde

Am besten man rechnet mit Relativgeschwindigkeiten und ich nehme die Relativgeschwindigkeit des Pkw gegenüber dem LKW.

Vpkw_rel_0 = v_pkw - v_lkw = 72km/h - 90 km/h = -18km/h. Zum Zeitpunkt t=0 beschleunigt der Pkw. Seine Geschwidigkeit in Abhängigkeit der Zeit.

Mit 18km/h = 5 m/s erhält man

vpkw_rel(t) = vpkw_rel_0 + a_pkw*t = -5m/s + 4m/s**2*t

Der weg, welchen der Pkw zurück legt, berechnet sich zu

spkw_rel(t) = -5m/s*t + 4m/s**2 * 1/2 * t**2.

Der Pkw hat den Lkw dann eingehlt, wenn der relativweg von 100m erreicht wurde:
100m = -5m/s*t + 4m/s**2 * 1/2 * t**2.

Diese quadratische Gleichung lösen nach t auflösen und die Lösung ist da.

Antwort
von fjf100, 10

Pkw Vp=72 Km/h=20 m/s und a= 4 m/s^2

Lkw Vl=90 Km/h = 25 m/s

es gilt Sp=Sl die zurückgelegte Strecke des Pkw ist gleich der zurückgelegten Strecke des Lkw

Wir müssen nun für beide Fahrzeuge die Weg-Zeit-Funktion aufstellen und dann diese beiden Funktionen gleichsetzen.

für den Pkw 

a=4 m/s^2=konstant Vp(t)= integral( a *dt)= a * t + c mit c=vp=20 m/s

nochmal integriert sp(t)=integral (Vp(t) *dt=1/2 *a*t^2 +Vp * t +C

mit c= Sp=0 

Weg -zeit-Funktion des Pkw somit Sp(t)=1/2 *a * t^2 + Vp * t

für den Lkw

Vl=25 m/s=konstant ergibt Sl(t)= Integral ( V(t)*dt=Vl * t+C mit C=Slo=100m

Weg-zeit-Funktion des Lkw ist Sl(t)= Vl * t + 100 m

gleichgesetzt Sp(t)=Sl(t)

1/2 *a *t^2 +Vp * t= Vl * t +100

ergibt 0=1/2* a*t^2+ Vp *t - Vl *t - 100

0=2 *t^2 - 5 *t - 100 Nullstellen dieser quadratischen Gleichung

x1= - 5,93 s und x2=8,4309..s

Probe : Sl=Vl * t +100=25 * 8,43..+100=310,75 m

Sp=1/2 * a * t^2 + Vp *t=2 *8,43..^2 + 20 *8,43.=310,73.. m

Rechnung stimmt also Beide Fahrzeuge haben bei t=8,43 s die selbe  Höhe erreicht.

Antwort
von Milb3, 16

v(LKW)*t = a/2*t² + v(PKW)*t -100

v natürlich in m/s umrechnen und einsetzen.


Antwort
von Wechselfreund, 10

Was soll eine gleichförmig beschleunigte Bewegung sein?

Kommentar von fjf100 ,

"gleichförmige Bewegung" hier ist V=konstant (Geschwindigkeit ändert sich nicht)

"gleichförmige beschleunigte Bewegung" hier ist die Beschleunigung a=konstant

Das Fahrzeug wird pro Sekunde um einen festen Wert schneller oder langsamer (Bremsvorgang)

Kommentar von Wechselfreund ,

Heißt es nicht eher gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

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