Frage von hansphysik, 95

Wie rechnet man die Ausdehnung der Gase?

Hallo, habe da ein kleines Problem bei folgender Aufgabe: Ein Heissluftballon enthält vor dem Start 4000m3 Luft vom gleichen Luftdruck und der gleichen Temperatur 17°C wie die Umgebung. Die Luftdichte bei 17°C beträgt 1.22kg/m3, Hülle und Gondel haben die Masse 860kg, die Nutzlast beträgt 200kg. Auf welche mittlere Temperatur muss der Luftinhalt erhitzt werden, damit sich der Ballon gerade vom Boden abhebt?

V1 = 4000m3 T1 = 290.15K p1 = p2

m = 860kg+200kg = 1060kg

V1/T1 = V2 /T2

Wie kann man diese lösen?

LG

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Hamburger02, Community-Experte für Physik, 48

Grundüberlegung: Der Auftrieb durch den Ballon muss gerade so groß sein, wie das Gesamtgewicht, das zu heben ist: Fa = Fg

Die Gewichtskraft der Last beträgt:
F(Last) = m * g = 1060 kg * 9,81 m/s^2 = 10387 N = 10,4 kN
Die Gewichtskraft der Luft im Ballon beträgt:
F(Ballon) = r(Ballon) * V * g

Die Auftriebskraft Fa entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Luft (Archimedes):
F(Auftrieb) = m(Luft) * g = r(Luft) * V * g (Dichte mal Volumen = Masse)

Nun stellen wir das Kräftegleichgewicht auf, da der Ballon ja gerade so eben schweben soll:

F(Last) + F(Ballon) = F(Auftrieb)
m * g  + r(Ballon) * V * g = r(Luft) * V * g
r(Luft) * V  - r(Ballon) * V  = m
r(Luft)  - r(Ballon) =  m / V
r(Ballon) = r(Luft) - (m / V)
r(Ballon) = 1,22 kg/m^3 - 1060 kg / 4000 m^3 = 1,22 kg/m^3 - 0,27 kg/m^3 = 0,95 kg/m^3

Die erwärmte Luft im Ballon muss also eine Dichte von 0,95 kg/m^3 haben.

Die Dichte rho trockener Luft berechnet sich zu:
rho = p / (Rs * T) oder p = rho * Rs * T
Rs ist die spezifische Gaskonstante von trockener Luft

Da der Druck außen und innen gleich ist (Ballon ist unten offen -> Druckausgleich) gilt:

p(Luft) = p(Ballon)
rho(Luft) * Rs * T(Luft) = rho(Ballon) * Rs * T(Ballon)
rho(Luft) * T(Luft) = rho(Ballon) * T(Ballon)
T(Ballon) = T(Luft) * (rho(Luft) / rho(Ballon)
T(Ballon) = 290,15 K * 1,22/0,95 = 290,15 K * 1,28 = 372,6 K = 99,5 °C

Kommentar von hansphysik ,

Besten Dank für diese ausführliche Antwort.

LG

Kommentar von Hamburger02 ,

Gerne. Mir kams vor allem auf die Darstellung der "sauberen" Methodik an, denn nur mit einer sauberen Methodik lassen sich auch komplexe Aufgaben lösen, bei denen man ansonsten gerne mal den Überblick verliert.

Expertenantwort
von vach77, Community-Experte für Chemie, 49

Nach dem Gesetz von Archimedes ist die Auftriebskraft FA eines Körpers in Luft

FA = ρ(Luft) • V(Ballon) • g        (g ist die Erdbeschleunigung)

Du musst also zuerst V(Ballon, zusätzlich) ausrechnen, um die nötige Auftriebskraft zu erhalten.

Du hast dann das ursprüngliche und das neue notwendige Volumen des Ballons und die Ausgangstemperatur. Die neue Temperatur kann dann mit der von Dir vorgegebenen Gleichung berechnet werden.

Kommentar von hansphysik ,

Danke für die Antwort.

Sind dort nicht diese 4000m3 das VBallon, wenn nicht wie kann man dann dieses neue Volumen berechnen, und spielt das Gewicht hier keine Rolle?

LG

Kommentar von Hamburger02 ,

Stimmt, das Volumen bleibt gleich, aber die Dichte ändert sich.

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