Frage von Ceceliana, 19

Physik-Astronomie-Hilfe?

Also ich schreibe morgen ein Physik Test und brauche bei einer Übungsaufgabe Hilfe: Entfernung Erde/Mars: 784 Mio km; Umflaufzeit des Mars um die Sonne: Tm=1,88 Jahre Terde=1 Jahr Gesucht ist der Radius von Sonne-Erde (rse) Ich habe die Formel:

Tmars^2/rsonne-mars^3=Terde^2/rsonne-erde^3 Diese Formel muss ich anscheinend verwenden um die Formel vom Radius von Sonne-Erde raus zu bekommen.

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 8

Tmars^2/rsonne-mars^3=Terde^2/rsonne-erde^3 Diese Formel muss ich anscheinend verwenden um die Formel vom Radius von Sonne-Erde raus zu bekommen.

Richtig. Das ist die 3. Kepler'sche Regel (für ein »Gesetz« ist sie, wie das »Ohm'sche G.« oder das »Hook'sche G.« nicht fundamental und allgemeingültig genug).

Die lässt sich herleiten:

Die Schwerebeschleunigung im Gravitationsfeld eines Himmelskörpers der Masse M ist, im Abstand r von dessen Schwerpunkt,

(1) g⃗ = –e⃗_r·G·M/r²,

wobei G ≈ ²/₃×10⁻¹⁰m³/(kg·s²) die Gravitationskonstante und e⃗_r der Einheitsvektor in radialer Richtung ist (–e⃗_r weist also auf den Schwerpunkt). 

Für eine Kreisbahn muss die Zentrifugalbeschleunigung

(2) a⃗_z = (v²/r)·e⃗_r = ω²·r·e⃗_r = ω²·r⃗

gleich |g⃗| sein, sodass

(3.1) G·M/r² = ω²·r

sein muss, was sich zur 3. Kepler'schen Regel für Kreisbahnen

(3.2) G·M = ω²r³ = 4π²r³/T² ⇔ T² = (4π²/GM)·r³

umformen lässt (für elliptische Bahn ist r durch r̅ zu ersetzen, die mittlere Entfernung), und dies weiter zu

(3.3) T²/r³ = (4π²/GM) = const.,

d.h., für zwei Umlaufzeiten wie hier Tₑ, Tₘ und zwei Bahnradien rₑ, rₘ gilt

(4.1) Tₑ²/rₑ³ = Tₘ²/rₘ³    | · rₑ³/Tₘ²

und damit

(4.2) Tₑ²/Tₘ² = rₑ³/rₘ³.

Rätselhaft finde ich erst mal mit dem angeblichen Erde-Mars-Abstand von 784Gm (Gm = Gigameter = 10⁹m = 10⁶km). Wenn damit der Abstand mit dem Mars in Opposition, also

Δr = rₘ – rₑ

gemeint sein soll, ist die Zahl etwa um eine Zehnerpotenz zu groß.

Vielleicht soll es auch ein mittlerer Abstand sein, aber daraus rₘ und daraus rₑ berechnen zu wollen, ist für eine kurze Aufgabe etwas kompliziert. Für das arithmetische Mittel zwischen größtem und kleinstem Abstand

½·{(rₘ – rₑ) + (rₘ + rₑ)} = ½·2·rₘ = rₘ

ist er ebenfalls viel zu klein; wie ich, dem Ergebnis vorgreifend, bereits weiß, wäre das sogar weniger als rₑ, was nämlich ca. 150 Gm sind (das also muss herauskommen!). 

Antwort
von Physikus137, 6

T₁ sei die Umlaufzeit des Mars, T₂ die der Erde.

a₁ sei der Abstand des Mars zur Sonne, a₂ der Abstand der Erde zur Sonne.

Das 3. Keplerschen Gesetz lautet

(T₁/T₂)² = (a₁/a₂)³

Das ist die von dir angegebene Formel, nur umgestellt.

gesucht ist a₂, der Abstand von Sonne zu Erde. Gegeben hast du den Abstand von Erde zu Mars:

 a = a₂ - a₁

Damit kannst du a₁ schreiben als a - a₂ und in das Keplerschen Gesetz einsetzen:

(T₁/T₂)² = ( (a - a₂)/a₂)³

∛(T₁/T₂)²= (a - a₂)/a₂

...

Kommentar von Ceceliana ,

Dankeschön 

Kommentar von Physikus137 ,

Die Entfernung Erde Mars (oder besser deren Umlaufbahnen) sollte aber eher 78,4 Millionen Kilometer sein, nicht 784... Letzteres ist mehr als doppelt so viel wie der tatsächliche Abstand beider Planeten in Konjunktion.

Kommentar von SlowPhil ,

Gegeben hast du den Abstand von Erde zu Mars:

 a = a₂ - a₁

Das ist eben die Frage. Der (mittlere, wegen der Exzentrizität) geringste Abstand des Mars von der Erde (also wenn der Mars von der Sonne aus in derselben Richtung steht wie die Erde) ist etwa ein Zehntel davon.

Kommentar von Physikus137 ,

Ich habe mal stillschweigend angenommen, dass der Abstand der als kreisförmig angenommenen Umlaufbahnen gemeint war.

Für eine Schulaufgabe ist das opportun, da die kleine Halbachse des Mars weniger als 0,5% kleiner ist als die große; bei der Erde sogar nur im Promillebereich.

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