Frage von StarSlyde, 62

Physik Astronomie Arbeitsauftrag unverständlich?

Hallo! Unsere Professorin hat uns für zwei Wochen ca 20 Seiten über Planeten, deren Berechnungen und alles was dazu gehört gegeben, und wir sollen das selber verstehen. Das Problem ist, dass es komplett unverständlich ist, die Formeln nicht wirklich erklärt sind und sich niemand in der Klasse wirklich auskennt. Normalerweise habe ich kein Problem in Physik aber diesmal ist es einfach zu unverständlich alles alleine zu lernen. Kennt ihr eine gute Website, Videos oä wo alles klar formuliert ist?

Sprache: Deutsch oder Englisch

Themen: Keplersche Gesetze, Planetenbewegungen, Gravitationsgesetz, Vermessung von Planeten, Lageenergie im Gravitationsfeld, Kosmische Geschwindigkeiten

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 18

Die Planeten (und auch andere Himmelskörper wie Planetoiden oder die periodischen Kometen) mit der Masse m bewegen sich laut Kepler und Newton auf Ellipsenbahnen um die Sonne mit der Masse M≫m, die in einem ihrer Brennpunkte liegt.

Der Vektor r (von Kepler Fahrstrahl, lat. radius vector genannt) kennzeichnet die Position relativ zur Sonne, ω, der in Richtung der Drehachse zeigt, seine Winkelgeschwindigkeit und v=ω×r seine Bahngeschwindigkeit.

Verantwortlich dafür, wie exzentrisch oder umgekehrt kreisförmig eine Planeten - oder Kometenbahn ist, sind der Bahndrehimpuls

(1.1) L = const. = r × v = r × (ω × r) (vektoriell)
(1.2) L = const. = r · v = ω · r²           (betragsmäßig)

(kennt man von der Pirouette: zieht die Tänzerin die Arme an, wird sie schneller, weil der Drehimpuls erhalten ist), von dem die kleine Achse der Ellipse (wenn es denn eine ist und nicht etwa eine Parabel oder Hyperbel) abhängt, und die Energie

(2) E = const. = E_{kin} + E_{pot} = ½·m·v² – G·m·M/r,

(G ist die Gravitationskonstante und E_{pot} die Lageenergie) die in einem gebundenen Zustand (d.h. wenn sich der Planet/Komet nicht beliebig weit entfernen kann, sondern ein Aphelion erreicht, einen äußeren Umkehrpunkt, von dem aus er sich der Sonne wieder nähert) negativ sein muss. Sie bzw. ihr Betrag ist dann umgekehrt proportional zur großen Achse der Ellipse.

Die Konstanz von L ist übrigens, wie man an (1.1) und (1.2) sieht, gleichbedeutend mit Keplers 2. »Gesetz« (»Regel« wäre angebrachter), dass r in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht.

Der negative Gradient von E_{pot}, d.h. eine Vektorgröße, die in Richtung des stärksten Gefälles von E_{pot} zeigt und dieses Gefälle zum Betrag hat, ist die Gravitationskraft

(3.1) F_g = –e_r·G·m·M/r² (vektoriell, mit –e_r := –r/r)
(3.2) F_g = G·m·M/r²         (betragsmäßig)

Daraus, dass F_g die für einen gebundenen Zustand erforderliche Zentripetalkraft

(4.1) F_z = m·ω × (ω × r) = –e_r·m·ω²·r (vektoriell)
(4.2) F_z = m·ω²·r                                     (betragsmäßig)

ist, lässt sich zudem das 3. Kepler-Gesetz

(5) G·M/ω² = (G·M/4π²)T² = r³.

herleiten. Die in (2) aufgeführte E_{pot} bildet gewissermaßen einen Trichter, in dem sich ein Körper bis zu der Höhe E_{pot} + E_{kin} bewegen kann. Nur wenn

(6.1) E_{kin} < –E_{pot} = |E_{pot}|

ist, liegt ein gebundener Zustand vor. Hat etwa ein Komet

(6.2) E_{kin} ≧ |E_{pot}| ⇔ v ≧ √{2GM/r},

so kann und wird er den Trichter verlassen, und seine Bahn ist eine Parabel (im Gleichheitsfall)  oder Hyperbel (bei größerem v). Dabei heißt m.W. übrigens √{2GM/r} die 3. kosmische Geschwindigkeit, bezogen auf die Entfernung r, die Fluchtgeschwindigkeit aus dem Sonnensystem.

Kommentar von SlowPhil ,

Dabei heißt m.W. übrigens √{2GM/r} die 3. kosmische Geschwindigkeit, bezogen auf die Entfernung r,…

Genauer versteht man unter der 3. Kosmischen Geschwindigkeit die Geschwindigkeit

v₍₃₎ = √{2GMₛ/rₑₛ},

wobei speziell Mₛ -bisher als M bezeichnet - die Masse der Sonne und rₑₛ die Entfernung Erde-Sonne ist.

Antwort
von supernovaex, 42

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