Frage von LAStudentin96, 13

Peano-Axiome und rationale Zahlen?

Hallo alle zusammen! Ich habe folgendes Problem und zwar wäre es super wenn mir jemand den Zusammenhang zwischen den Peano-Axiomen und den rationalen Zahlen erklären könnte.

Schon mal vielen Dank im vorraus! :))

Antwort
von TobiMa95, 2

Denke du meinst Q. 

Naja N ist TM von Q. Um aus N etwas herlriten zukönnen musst du ja Aussagen über N treffen können. Bsp. Jede Zahl n  0 hat einen nachfolger, 0 ist kein nachfolger, induktionsprinzip usw. Damit kannst du jetzt deine Operationen definieren.

Was ist nun die inverse von ×, was passiert wenn man zwei beliebige Zahlen teilt, so kommt man drauf, dass es noch mehr außer N geben muss. Durch eine Relation definierst du dann aus dem Hintergrund heraus Q als Ergebnis der Devision zweier beliebiger Zahlen, dafür brauchst du aber gewisse annahmen. Z.B. nach 5 kommt keine zahl mehr , was wäre dann das Ergebnis von 5/(1/2) ? Usw. Damit nichts komisches passiert nimmst du quasi die Axiome an.

Weiter überlegt man sich dann ob zwischen zwei Elementen etwas liegt die in Q leben aber selber nicht in Q sind. Konstruieren kannst du z.b. als Äquialenzklasse von Cauchy Folgen oder durch vervollständigung der topologischen Gruppe oder noch n paar andere.

In der Mathematik braucht man immer gewisse Grundvoraussetzungen die immer auf Axiomen beruhen, einfach um sicherzustellen, dass sich ein Objekt so verhält wie wir das wollen und keine "schrägen" Sachen macht, bzw. um daraus Aussagen abzuleiten.

Versuch den Beweis/ Konstruktion ohne Peano und du wirst merken, dass die Axiome an einigen Stellen einfach fehlen und dass du ohne sie nicht weiter kommst.

Antwort
von TobiMa95, 5

Peano - Axiom oder heute Peano-Arithmetik sind Grunlegende Aussagen für N. Kann gut sein dein Prof/Lehrer setzt die Vorraus um Sachen zi beweisen. Q geht ja aus N hervor bzw durch Relationen kann man von N aus Q definieren.

Kommentar von LAStudentin96 ,

Ja aber was genau haben die Peano-Axiome für N dann mit R zutun? Wie kann man die darauf übertragen?

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