Frage von Linusfail, 17

Partialbruchzerlegung Nullstellen?

Hey! Habe mir vor kurzem einige Dokumente und Aufgaben zum Thema Partialbruchzerlegung angesehen. Hierbei ist mir eine Sache bezüglich der Faktorisierung des Nenners aufgefallen: Gegeben war, dass der Nenner x^4+3x^2+2 ist. Normalerweise würde man ja erst die Nullstellen bestimmen. Das ist ja hier aber nicht möglich, oder doch? Ich weiß natürlich, dass das faktorisiert (x+1)(x+2) ist. Aber weder -1 noch -2 sind Nullstellen des unfaktorisierten Nenners... also, wie kmmt man darauf?

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 5

Das ist sehr einfach ! Substitution z=x^2 ergibt

z^2 + 3 *z + 2=0 ist eine einfache Parabel die mit der p-q-Formel lösbar ist

z1=- 1 und z2=- 2 Lösung ist als imaginär wegen x1,2= Wurzel(-1)

Hinweis : Keine "reellen Nullstellen " vorhanden !

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 6

Hallo,

es handelt sich um eine biquadratische Gleichung, die durch Substitution

x²=u gelöst werden kann.

Du ersetzt also x² durch u und bekommst f(u)=u²+3u+2, die Du in
f(u)=(u+1)*(u+2) umformen kannst. Nullstellen von f(u) sind also 
u=-1 oder u=-2

Allerdings sind dies die Nullstellen für f(u) und nicht für f(x).

Da u=x², sind die Nullstellen von f(x) +/-√-1 bzw. +/-√-2

Alle vier Nullstellen sind somit imaginär:

i, -i, i*√2 und -i*√2

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 9

Faktorisiert ergibt der Nenner (x²+1)(x²+2). Du hast das "Hoch 2" vergessen. (reelle) Nullstellen hat dieser Nenner nicht; sieht man schon am Ausgangsnenner: alle Summanden sind immer positiv.

Kommentar von Linusfail ,

Oh mein Gott ja, verdammt bin ich ein Idiot xD dankesehr trotzdem xD oh man

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