Frage von hqwer, 61

Partialbruchzerlegung: Muss der Zähler immer die Ordnung 1 haben?

Irgendwie ist es immer so, dass wenn ich eine Partialbruchzerlegung durchführen muss den Zähler erstmal auf die erste Ordnung bringen muss.

Bsp:

X(Z) = z^2 / (z^2-2z-3)

X(Z)/z = z / (z^2-2z-3)

und dann kann ich weiter machen und den Residuensatz anwenden. Warum zum Henker brauche ich immer die erste Ordnung?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 61

Hallo,

die höchste Potenz im Zähler muß kleiner sein als die höchste Potenz im Nenner, dazu darf die höchste Potenz im Nenner keinen von 1 verschiedenen Faktor haben.

Außerdem muß der Nenner in einzelne Faktoren zerlegt werden.

Sind diese Voraussetzungen nicht gegeben, läßt sich kein Koeffizientenvergleich durchführen, der für diese Methode typisch ist. Schließlich geht es letztlich darum, einen komplexen Bruchterm in mehrere Einzelterme umzuwandeln, die dann einfacher oder überhaupt zu integrieren sind.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 12

f(x)= x^2 / (x^2-2*x-3)= x^2 : (x^2-2*x-3= 1 +  ((2*x +3)/(x^2-2*x - 3))

Dies ist eine Zahl der Form 1 + 2/4

x^2 - 2 *x -3 Nullstellen bei x1= 3 und x2= - 1

Partizialbruchzerlegung : Ansatz aus den Mathe-Formelbuch

2 *x + 3) / (x^2-2*x -3)= A/(x - x1) + B/(x-x2) = A/(x-3) + B/ ( x +1) 

ergibt 2*x  +3= A*(x+1) + B*(x-3)= A+B) * x + (A -3*B)

Nun Koeffizientenvergleich gleicher Potenzen von x ergibt

2 * x^1 + 3 *x^0 =(A+B)*x^1 + (A - 3*B) * x^0

ergibt 2 Gleichungen

1. 2= A +B und  ergibt A= 2 -B

2. 3=A - 3*B

1. Und 2. 3=2 - B - 3*B= 2 - 4 *B 

also B=(2-3)/ 4= - 0,25

mit A= 2 - B= 2 - (-0,25)= 2,25 nun Integrieren

F(x)=Int (x^2/(x^2 -2*x-3) *dx=Int (1+ (2*x+3)/(x^2-2*x-3) *dx

F(x) = Int ( 1*dx + Int(2,25/(x-3) *dx + Int ( - 0,25 /(x+1) *dx

F(x)= x + 2,25 * ln(x-3) - 0,25 * ln(x+1) + C

Probe : Mit Graphikrechner A=Int( x^2/(x^2-2*x - 3) = 4,3877 FE

mit xu= 4 (untere Grenze) und xo=6 (obere Grenze)

Hinweis : xo=6 und xu= 4 in die Funktion F(x) einsetzen und überprüfen.

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