Parabeln, Hyperbeln Funktionsgleichung ablesen?
Ja die Frage erklärt sich wohl teilweise schon von selbst... ich meine Parabeln wie y=x² nicht mehr nur dass der Exponent sich eben verändert. Wenn eine Parabel/Hyperbel gegeben ist wie kann ich die Funktionsgleichung ablesen?
2 Antworten
Also erst einmal ist für eine Funktion die allgemeine Funktionsgleichung bekannt und man muss sie nicht ablesen und ebenso der allgemeine Verlauf der Funktionskurve.
Was man erlernen muss ist das Interpretieren bzw. deuten der einzelnen Grundfunktionen (Glieder) einer Funktion, also deren Zusammensetzung bzw. das Aufstellen eines Funktionssystems für die einzelnen Koeffizienten zur quantitativen Bestimmung der Funktion!
Ich hab mir durchaus den Link noch mal ganz genau angeschaut!
Natürlich muss man die einzelnen Glieder einer Funktion deuten können! Aber dabei kommt es eben auch vor, dass sich einige gegenseitig beeinflussen oder sogar graphisch aufheben! Ich darf es eben nur nicht als alleiniges Kriterium ansehen!
Natürlich muss man die einzelnen Glieder einer Funktion deuten können!
Ja? Wie denn?
Aber dabei kommt es eben auch vor, dass sich einige gegenseitig beeinflussen
Ja? Wie denn? - Du machst hier genau das, was du anderen (Mathematikern oder Lehrern) so gerne vorwirfst: Du machst die Mathematik unnötig kompliziert.
Es gibt (ich bleibe hier mal bei der Geschichte mit den Extremwerten) eine Regel:
- Ein Extremwert liegt dort vor, wenn die erste Ableitung 0 ist, und einen Vorzeichenwechsel durchmacht (anders gesagt: sie berührt die x-Achse nicht, sie schneidet sie).
Das ist das Kriterium. So. Und nun führe ich dir vor, wie man Beispiele wie die des Users E. konstruiert:
- Ich möchte eine Funktion, die ein quadratisches Glied hat, aber keinen Extremwert. Das macht offensichtlich erst bei kubischen Funktionen Sinn, denn quadratische haben immer genau eine Extremstelle.
- Die Ableitung einer kubischen Funktion ist eine quadratische Funktion. Und umgekehrt, ich kann durch Integration (->Stammfunktion bilden) aus einer quadratischen eine kubische Funktion bilden, die die quadratische als ihre Ableitung hat.
- Wie entsteht bei Integration ein quadratisches Glied (ein solches wollten wir)? Durch ein lineares Glied!
- Ich nehme mir also eine quadratische Funktion, die ein lineares Glied hat aber keine Nullstellen. ZB: y=x²+2x+2. Die hat keine Nullstellen. Die Stammfunktion ist:
y = 1/3 x³ + x² + 2x
(die Integrationskonstante der Einfachheit halber 0 gewählt). Eine kubische Funktion, und zwar mit einem quadratischen Glied, und keine Extremwerte, denn die Ableitung hat ja keine Nullstellen.
So kann ich beliebig viele solcher Beispiele konstruieren. und umgekehrt, wenn ich eine kubische Funktion ohne quadratisches Glied, aber mit Extremwerte will, dann integriere ich einfach das hier:
y = x² - a (a sei größer als 0)
Für a>0 hat so eine Funktion Funktion zwei Nullstellen (mit Vorzeichenwechsel, wir wissen, wie eine gewöhnliche Parabel aussieht) nämlich +-Wurzel(a). Stammfunktion (wieder einfach C=0):
y = 1/3 x³ - ax
Und schon habe ich eine hübsche kubische Funktion mit zwei Extremwerte, (bei -Wurzel(a) und +Wurzel(a)), und ohne quadratisches Glied.
So einfach ist das.
Ich darf es eben nur nicht als alleiniges Kriterium ansehen!
Verkomplizierer Nagel...
Es ist überhaupt kein KriteriumMan kann jede Parabel so verschieben, dass sie mal zwei Nullstellen oder mal keine hat Jede! Dabei ändert sich bloß das konstante Glied. Wenn ich diese Funktion dann integriere, erhalte ich eine kubische. So kann ich nach belieben kubische Funktionen mit und kubische Funktionen ohne quadratisches Glied, die Extremwerte haben; und ebenso kubische Funktionen mit und kubische Funktionen ohne quadratisches Glied, die keine Extremwerte haben.
PS: Wie das mit dem Verschieben ist, und dass und warum es außer den quadratischen Funktionen keinen einzigen Fall gibt, wo ein lineares Glied eine Veschiebung anzeigen/bewirken würde, erklär ich dir ein andermal.
PPS: Das "Es ist überhaupt kein Kriterium" bezieht sich slebstreden auf das, was Thema war: Extremwerte und "schräge" Verschiebung.
Ein paar andere Sachen lassen sich an den Gliedern erkennen, etwa verschiebubg parallel zur y-Achse oder Punktsymmetrie zum Ursprung. Aber viel lässt sich da nicht machen. Schon Punktsymmetrie zu einem anderen Punkt als dem Ursprung lässt sich an den Gliedern nicht mehr erkennen.
Es ist überhaupt kein Kriterium
Wenn man unbedingt wollte, könnte man sowas gerade noch für kubische Funktionen machen.
Ansatz:
y = ax³ + bx² + cx + d
y´ = 3ax² + 2bx + c
3ax² + 2bx + c = 0
Damit hat man eine quadratische Gleichung, und wenn diese zwei Nullstellen hat, dann hat die ursprüngliche Funktion Extremwerte. Das könnte man mit der Diskriminante prüfen. Möglich, aber umständlich und nur für kubische Funktionen machbar.
[UlrichNagel:]
Ich hab mir durchaus den Link noch mal ganz genau angeschaut!
Und warum hast du dabei nicht die Regel "Mögliche Extremstellen sind die Nullstellen der ersten Ableitung" bedacht? So waren die Besipiele doch auch gedacht, dass du das was begreifst. Warum nur musst du irgendwelche Pseudoregeln herbeiphantasieren und an diesen verbissen festhalten?
@UlrichNagel
[Weils's mir nocht einfiel]
Um es nochmal anders zu sagen: UlrichNagel hat monate-, wenn nicht jahrelang vertreten, dass Parabeln mit linearem Glied immer Nullstellen hätten.
Denn laut Nagel hätten ja kubischen (wenn nicht gar alle) Funktionen immer dann Extrema, wenn sie ein quadratisches Glied hätten.
Aber dann hat deren Ableitung (die ja dann eine quadratische Funktion ist) immer ein lineares Glied und müsste immer Nullstellen haben. Nagel hat diese unsinnige Konsequenz, die aus seiner "Regel" folgt, nie bemerkt.
Und UlrichNagel hat monate-, wenn nicht jahrelang vertreten, dass Parabeln ohne lineares Glied niemals Nullstellen hätten (denn laut Nagel hätte ja eine kubische Funktion ohne quadratisches Glied keine Extrema - wenn ich die aber ableite ...)
Was soll man davon halten? Bei jemandem, der ... ach, lassen wir das für heute Abend.
Das Ablesen aus dem Graphen ist nicht so richtig einfach, da sich einige Kurven doch sehr ähnlich sehen, z.B. x³ und x^5 oder 2x² und x^4.
Da braucht man schon einige Erfahrung mit Funktionen, um die Gleichungen wenigstens abschätzen zu können.
Weiß man erst über die Zusammenhänge bei Nullstellen, Extremwerten und Wende- bzw. Sattelpunkten Bescheid, kann man sich der Schätzung einer Kurve besser nähern.
Womit du ja schon mehrfach auf die Nase gefallen bist. - Ich hab das ungute Gefühl, du hast schon wieder vergessen, dass deine "Regeln" nicht stimmen (du hattest es schonmal eingesehen und wieder vergessen).
Daher sicherheitshalber zur Erinnerung:
Und weder das eine noch das andere sind "Ausnahmen".
Beipspiele hat dir ein User hier gegeben: https://www.gutefrage.net/frage/bedinungen-aus-einem-graphen-ablesen-