Frage von James0505, 39

Parabel quadratische Funktion?

Kann mir jemmand erklären wie ich die Aufgabe rechne ? Ich soll eine Parabel Zeichnen mit einer Wertetabelle zu:Scheitelpunkt(-1/-4) a=0,25 mit sichbaren Nullstellen

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 17

Ich würde zuerst die Funktiongleichung aufstellen (f(x) = 0,25(x+1)² - 4.

Man könnte sich jetzt die Nullstellen ausrechnen. Ich würde es aber so machen, dass du den Scheitelpunkt als erstes in deine Wertetabelle einträgst und dann immer in 1er Schritten hoch zählst, bis du einen y-Wert erhältst, der größer als 0 ist.

Die ermittelten Werte sind die gleichen wie die links vom Scheitelpunkt, die den gleichen x-Abstand zu ihm haben. Du musst also nur in eine Richtung rechnen.

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 4

Die Scheitelpunktform einer quadr. Gleichung sieht so aus:

f(x)=a * (x-d)²+e

Der Scheitelpunkt liegt bei S(d|e).

Deine gegebenen Werte eingesetzt, erhälst Du:

f(x)=0,25 * (x-(-1))²+(-4) = 0,25 * (x+1)²-4

Mache nun einfach eine Wertetabelle (z. B. die ganzen Zahlen von -5 bis +5) und zeichne diese in das Koordinatensystem ein. Du brauchst im Grunde vom Scheitelpunkt nur in eine Richtung zu rechnen, weil auf der anderen Seite sind die y-Werte bei gleichem Abstand von S genauso groß, d. h. z. B.  f(-2)=f(0); f(-3)=f(1) usw.

Dann noch diese Punkte so verbinden, dass man einigermaßen eine Parabel daraus erkennen kann.

Antwort
von precursor, 22

y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c

y´ = f´(x) = 2 * a * x + b

a kennst du bereits, a = 0.25

Aus dem von oben wird dann -->

y = f(x) = 0.25 * x ^ 2 + b * x + c

y´ = f´(x) = 0.5 * x + b

Der Scheitelpunkt der Parabel ist gleichzeitig auch der Extremwertpunkt der Parabel, das bedeutet an dem Punkt hat die 1-te Ableitung der Parabel eine Nullstelle, also lässt sich b sofort ausrechnen -->

0 = 0.5 * (-1) + b

b = 0.5

b kann man jetzt in den Ansatz für f(x) einsetzen -->

y = f(x) = 0.25 * x ^ 2 + 0.5 * x + c

Jetzt ist also nur noch c zu bestimmen, das geht über die Information, dass die Funktion durch den Punkt (-1 | -4) läuft.

-4 = 0.25 * (-1) ^ 2 + 0.5 * (-1) + c

-4 = 0.25 - 0.5 + c

-4 = -0.25 + c

c = -3.75

Damit hast du jetzt die vollständige Funktion -->

y = f(x) = 0.25 * x ^ 2 + 0.5 * x - 3.75

Diese Funktion hat den Vorfaktor a = 0.5 vor der höchsten Potenz von x und den Scheitelpunkt (-1 | -4)

Die Nullstellen kannst du selber mal ausrechnen, dazu musst du folgendes lösen -->

0.25 * x ^ 2 + 0.5 * x - 3.75 = 0 | : 0.25

x ^ 2 + 2 * x - 15 = 0

Nun die pq-Formel anwenden.

Das solltest du alleine schaffen ;-))

Kommentar von James0505 ,

Ich hätte da zu schreiben sollen das ich das alles mit einen Taschenrechner machen soll also auch die tabelle und den graf

Kommentar von precursor ,

Ok, bei deiner Funktion ist es glücklicherweise so, dass die Nullstellen an geraden Stellen für x liegen, so dass sich eine Wertetabelle, wenn auch ziemlich mühsam, auch von Hand aufstellen lässt, durch Einsetzen, und sich dadurch auch die Nullstellen finden lassen.

Außerdem ist dann die Herangehensweise von "Suboptimierer" besser als meine, so dass du besser mal auf seine Antwort schaust.

Meine Antwort setzt auch die Differentialrechnung voraus, die du dann bestimmt auch noch nicht hattest.

Antwort
von TKPit, 5

Zeichne zuerst deinen Scheitelpunkt (-1/-4) ein.

Bei einer Quadratischen Funktion gibt es 3 sogenannte Koeffizienten (a, b, c):

Anhand von a kann man erkennen ob die Parabel nach oben oder unten geöfnet ist (-a = Parabel nach unten; a = Parabel nach oben) in deinem Fall nach oben 

c zeigt an, auf welcher y-Position der Schneitelpunkt liegt (in deinem Beispiel (y=-1)(x=-4))

b gibt die Steigung der Parrabel an (d.h. ob sie spitz oder eher breit ist)

Jetz muss du die Nullstellen berechen (Der Punkt, wo dein Graph die X-Achse schneidet. Es gibt drei Arten von "Nullstellen": 1. 2 Schnittpunkte, 2. 1 Schittpunkt (bei b = 0) schau dir dazu ein paar Bilder auf Wikipedia an, damit du es verstehst) In deinem Beispiel gibt es 2 Nullstellen.

Zum Berechnen gibt's hier die Formeln: http://de.bettermarks.com/mathe-portal/mathebuch/nullstellen-und-schnittpunktber...

Hoffe konnt helfen

TKPit

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