Frage von roromoloko, 79

Optik - Aufgabe - Auflösung?

Die Winkelauflösung des menschlichen Auges beträgt etwa 0,02°. Mit dieser Auflösung werden Einzelheiten der Mondoberfläche wahrgenommen. Die größten gut erkennbaren Krater auf der Mondoberfläche haben Durchmesser von etwa 100km. Kann man sie mit den bloßen Auge wahrnehmen?

Ich hätte die die Aufgabe so gelöst, indem ich prüfe, ob diese 100km eine Bogenminute beträgt also die DIfferenz der Winkel 0,02° .. Aber die Entfernung des Monds zu Erdoberfläche ist nicht gegeben, also weiß ich nicht genau wie ich die Aufgabe löse..

Eine Formel zur Auflösung ist folgende:

sin (alpha) = lambda/b

b wäre 100km, lambda = 550nm

Man könnte schauen ob da 0,02° rauskommen würde, aber da kommt eine sehr hohe Zahl heraus

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik & Physik, 25

Ich würde sie immer typischen mathematisch vorgehen, das bedeutet, ich fange nicht mit den Zahlen an herumzuhantieren, sondern benutze zunächst einmal Formelzeichen.

Um zu verstehen, welche größten ich benötige und welche Zusammenhänge zwischen ihnen bestehen, mache ich mir erst einmal ein Bild von der Lage, wobei die konkreten Maßstäbe und Zahlenwerte irrelevant sind.

So kann ich mir zum Beispiel vorstellen, dass ich, ganz einfach, einen Stab der Länge L in in einer Entfernung r von meinem Auge betrachte. "Meines Blickes Strahl" (vielen Dank an Knorkator für diese Formulierung) treffe den Stab in der Mitte im rechten Winkel. Dabei entstehen zwei zueinander gespiegelte rechtwinklige Dreiecke mit jeweils L/2 als Gegenkatheten- und r als Ankathetenlänge.

Die Hypotenuse spielt in diesem Fall einmal überhaupt keine Rolle, sondern uns geht es um die Winkelausdehnung α des Stabes, und die ist durch

(1) α = 2·atan(L/2r).

gegeben. Je kleiner α ist, desto genauer Stimmen α[rad] und tan(α) miteinander überein, also

(2) α ≈ 2L/1r = L/r. <=> L ≈ α·r

Muss man jetzt nur noch wissen, dass

1° ^= π/180.

Hier geht es um

(1/50)° = π/9000,

was etwas mehr als 1/3000 ist. Die Mondentfernung wird üblicherweise zu

r≈3,84×10^{8}m

beziffert. Da komme ich ganz grob überschlagen auf 1,3×10^{5}m = 130km.

Kommentar von roromoloko ,

Danke, ich hab noch was nicht verstanden und zwar:

1. Den Schritt:

(2) α ≈ 2L/1r = L/r. <=> L ≈ α·r

Müsste unten nicht 2r stehen? Dann würde es sich kürzen und davor war ja auch immer ein 2r zu stehen

2. Den Schritt:

1° ^= π/180.

Hier geht es um

(1/50)° = π/9000,

was etwas mehr als 1/3000 ist.

Woher kommen die 50°? Gegeben ist L mit 100km, r mit
3,84×10^{8}m.. Eingesetzt kommt da ungefähr ein Winkel von 40° raus ( --> tan^-1(L/2r) * 2 = 42° )

3. Den Schritt:

Die Mondentfernung wird üblicherweise zu

r≈3,84×10^{8}m

beziffert. Da komme ich ganz grob überschlagen auf 1,3×10^{5}m = 130km

Haben Sie jetzt ausgerechnet wie viel wir minimal sehen können? Ich verstehe nicht genau welche Formel Sie verwendet haben, da ja die Zahlenwerte für L = alpha *r schon gegeben waren

Kommentar von SlowPhil ,

Müsste unten nicht 2r stehen?

Doch, natürlich. Ein Dreckfehler hat sich eingeschlichen. Für sehr kleine α ist

α ≈ L/r,

und das Verhältnis zwischen echter Ausdehnung und Winkelausdehnung ist annähernd linear..

Woher kommen die 50°?

Nicht 50°, sondern (1/50)° = 0,02%.

Eingesetzt kommt da ungefähr ein Winkel von 40° raus

Im Leben nicht! 40° ist ein riesiger Winkel. L/r ist winzig. 

Kommentar von roromoloko ,

Stimmt, habe eine falsche Zehnerpotenz eingegeben.Soll
pi/9000 das Bogenmaß sein ..

Der gesamte letzte Schritt ist mir immer noch nicht ganz klar.. Was sollen denn die 130 km sagen?

Kommentar von SlowPhil ,

L ≈ αr = (π/9000)·3,84×10^{8}m = etwas mehr als (3,84×10^{8}m)/(3×10³) = etwas mehr als 1,28×10^{5}m ≈ 130km

Kommentar von SlowPhil ,

Ich versuche so viel wie möglich im Kopf zu überschlagen,und das habe ich auch jetzt gemacht. Vor allem die Zehnerpotenzen müssen stimmen, das ist die halbe Miete. bevor ich den Taschenrechner einschalte, will ich wissen, in welcher Größenordnung ich mich bewege.

Kommentar von roromoloko ,

Wieso ist die umstellung von Grad zu rad notwendig? Wieso kann man nicht mit Winkeln rechnen?

Kommentar von SlowPhil ,

Radian ist auch ein Winkeleinheit, nämlich das Verhältnis zwischen der Länge eines Kreisbogens zum Radius. Sie hat den Vorteil, willkürfreier zu sein als die Einteilung in Grad oder Gon (früher "Neugrad").

Der Radian hat noch einen Vorteil: Bei kleinen α kann man sich für gewöhnlich nämlich auch noch den Tangens sparen, und nur dann kann man die 2 überhaupt wegkürzen. Aus

(1.1) α = 2·atan(L/2r)

kürzt Du nix, und aus der Umkehrung

(1.2) 2r·tan(α/2) = L

auch nicht, aber wenn α klein genug ist, um das nähern zu können, wird das Verhältnis zwischen α und L linear.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Physik, 41

Wenn du lambda mit hereinnimmst, behandelst du Beugungsprobleme, dafür bräuchtest du neben dem Kraterdurchmesser (oder statt seiner) auch den Pupillendurchmesser des Auges.

Die Mondentfernung gehört wohl zu den Dingen, bei denen ihr auf die Idee kommen sollt, sie selbst zu recherchieren.

Kommentar von roromoloko ,

Also ist die wichtig?

Kommentar von roromoloko ,

Wie soll ich das denn berechnen, ich kenne nur die obere Formel

Kommentar von PWolff ,

Das ist die Formel für die Beugung an einer Blende oder ähnlichem.

Kommentar von PWolff ,

Ja.

Kommentar von roromoloko ,

Finde keine passende... In dem Buchkapitel wird nur die obere Formel angewendet kann man die nicht irgendwie verwenden? Die werden ja nicht eine Aufgabe zum Thema Auflösungsvermögen stellen ohne dass man die entsprechende Formel verwendet :o

Kommentar von ThomasJNewton ,

Wenn du nicht mal weißt oder schreiben kannst, was suchst, nur "...", dann versuch es mal mit Schule, so ab der ersten Klasse.

Oder in einem Hellseherforum - und nein, die werden dich finden.

Das ist mir einfach zu blöd. EOD

Kommentar von ThomasJNewton ,

Also ist die wichtig?

Da du keinerlei Probleme hast, einen 100 km großen Krater
du auf der Erde zu erkennen, und keine Chance beim Mars, wurde ich mal "Ja" vermuten.

Kommentar von ThomasJNewton ,

Ist in der Auflösung von 0,02° nicht schon alles im Auge "eingepreist"?

Kommentar von roromoloko ,

ich solls doch rechnerisch lösen.. Also weiß ich nicht auf was sie hinaus wollen ...

Kommentar von SlowPhil ,

Die Entfernung des Mondes von der Erde ist keine Konstante, denn der Mond vollführt eine elliptische Bahn um die Erde. allerdings gibt es einen ungefähren Wert, und es ist auch nur dieser wichtig. auf wer weiss wie viele Nachkommastellen kommt es sicherlich nicht an.

Kommentar von PWolff ,

Die 0,02° haben auch nur 1 geltende Ziffer. Damit ist der mittlere Abstand des Mondes allemal genau genug.

Es geht ja auch nur um eine Abschätzung der Größenordnung.

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