Frage von Masen, 12

Operatoren können Vektorräume bilden?

Bildet die folgende Menge mit den angegebenen Operationen einen reellen Vektorraum? Beweisen Sie Ihre Aussage! V =Menge aller (r,s)∈R2, die2r−3s=0 erfüllen.

Addition: wie im R2 üblich. Multiplikation mit einem Skalar: wie im R2 üblich.

  1. Bildet die folgende Menge mit den angegebenen Operationen einen reellen Vektorraum? Beweisen Sie Ihre Aussage! V =Menge aller (x,y)∈R2, die x+y=1erfüllen. Addition: wie im R2 üblich. Multiplikation mit einem Skalar: wie im R2 üblich.

Verstehe ich die Frage Richtig und das erste Spannt die ganze zeicheneben auf und ist daher ein Vektorraum? Das zweite ist keiner weil es eine Gerade ist die nicht durch den Ursprung geht?

Danke

Antwort
von Physikus137, 4

V ist ein Untervektorraum von ℝ² genau dann wenn,

  1. V ≠ ∅
  2. ∀ u,w ∈ V: u + w ∈ V
  3. ∀ α ∈ ℝ, u ∈ V: α ⋅ u ∈ V

Wie du richtig erkannt hast, ist im zweiten Fall die dritte Bedingung nicht erfüllt, denn 0 ⋅ u liegt nicht in V.

Im ersten Fall ist u = (r,s), mit 2r - 3s = 0 auch eine Gerade, die jetzt aber durch den Ursprung geht.

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