Frage von DUDukaiser, 21

onvergent Folge oder divergent Folge?

Sei eine Folge an+1 = √(1+2an)

Ist diese Folge konvergiert oder divergiert?

Kann jmd zeigen??? Ich hoffe auf ernsthafte Antwort

Antwort
von Ahzmandius, 21

Ich habe jetzt mal alles quadriert und auf eine Seite gebracht, dann steht da bei mir:

(an)^2=0, hilft das dir weiter???

Kommentar von JonIrenicus ,

Ergibt wenig Sinn, das hieße ja, dass alle Folgenglieder verschwinden. Das soll eine rekursiv definierte Folge sein:

a_(n+1) = Wurzel(1+2*a_n).

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathematik, 9

a _ (n + 1) = √(1 + 2 * a _ n)

Wählen wir für a _ n mal a _ 0 = 1 dann erhalten wir -->

a _ 1 = √(1 + 2) = 1.732050808

a _ 2 = √(1 + 2 * 1.732050808) = 2.112842071

a _ 3 = √(1 + 2 * 2.112842071) = 2.285975534

...

a _ 41 = 2.414213562373095 = 1 + √(2)


Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 18

richtige Schreibweise lautet:

a[i+1]=sqrt(a[i]*2+1) mit sqrt(x)=Wurzel(x)

Damit die Variablen von Vorgänger & Nachfolger gleich werden,einfach gleichsetzen:

 x=sqrt(1+2x) nach x umstellen

Der Iterationsrechner bestätigt die Theorie:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm##@N@B0]=2.42;@N@Bi+1]=@Q@Bi]*2+1);@Ni%3E33@N0@N1@Na=@P@Bi]-1,2);

LINK endet erst bei 2);   

siehe Bild

In Ergebnis a bestätigt sich, wogegen aB[i] konvergiert:

a=pow(aB[i]-1,2)= (aB[i]-1)² = 2

Kommentar von DUDukaiser ,

Meine Frage ist Mathe mann....

Antwort
von Physikus137, 8

Zu sehen, dass 1+√2 der Grenzwert ist, ist eine Sache. Das auch zu zeigen eine ganz andere. Letzteres könnte wie folgt geschehen:

Mit a_1 = 1, a_n = √(1 + 2a_n) ist a_2 = √2 > a_1

a_(k+1) - a_k = √(1 + 2a_k) - √(1 + 2a_(k-1) ) = 2 ( a_k - a_(k-1) ) / ( √(1 + 2a_k) + √(1 + 2a_(k-1)) )

und damit a_(n+1) > als a_n durch Induktion. => Monotonie der Folge

Aus (a_(k+1))^2 = 1 + 2a_k < 2 + 2a_k folgt ebenfalls mit vollständig. Induktion a_n < 2 => Beschränktheit.

Also existiert lim_(n->∞) a_n = a mit

a = lim_(n->∞) a_n+1 = lim_(n->∞) √(1 + 2a_n) = √(1 + 2a)

also a^2 = 1 + 2a und damit a = 1 + √2 


Kommentar von Physikus137 ,

Achtung Tippfehler: für die Beschränktheit folgt natürlich a_n < 3. Sonst stünde das ja im Widerspruch zum ermittelten Grenzwert. 😊

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